Diagrama de temas

  • Presentación del curso

    Hola, mi nombre es Francisca Muñoz y seré tu profesora.

    En el siguiente video te contaré en que consiste este curso.

    Espero que aprendas y/o refuerces todos los contenidos que veremos. ¡Éxito!


       
  • Transformaciones Isométricas

    Para comenzar con este curso estudiaremos transformaciones isométricas, para esto debemos saber que es el plano cartesiano y que son los vectores, además de tener claras las características de ambos conceptos. Para esto te dejaré dos videos, espero que te gusten y te ayuden a comprender estos temas.


    PLANO CARTESIANO 



    VECTORES


    Ahora que ya sabes que es plano cartesiano y vectores podemos comenzar a definir las transformaciones isométricas, aun que antes de esto debemos comenzar definiendo a las transformaciones geométricas. Una transformación en una figura geométrica significa que, de alguna forma, esta fue sometida a algún cambio. En general, las transformaciones geométricas permiten crear una nueva figura a partir de otra dada.

    Las transformaciones geométricas pueden clasificarse en tres tipos: isométricas, isomórficas y anamórficas. Como este curso está enfocado en la Prueba de Transición solo nos enfocaremos en las transformaciones isométricas.

    A continuación podrás aprender su definición y clasificación gracias a Genially:

    Ahora que ya tienes el conocimiento de todo lo necesario para estudiar las transformaciones isométricas solo queda comenzar a ejercitar.
    • Transformaciones Isométricas problemas

      A continuación te presento 12 ejercicios para que practiques las transformaciones isométricas. Escribe tus respuestas en el foro para que puedas compararlas con el resto de personas que participan en este curso.

    • Semejanza

       Cuando hablamos de semejanza en el día a día, normalmente nos referimos a algo “parecido”, por ejemplo, de color parecido, tamaño parecido, etc. Entonces podemos decir que la semejanza corresponde a una característica común que puede existir entre objetos o personas.

      En la matemática el concepto de semejanza está muy ligado al concepto de proporcionalidad; es por lo que se dice que dos objetos son semejantes si existe una proporción entre ellos.

      Por ejemplo, si tenemos dos anillos idénticos, cuyos diámetros son exactamente iguales, diremos que tienen la misma proporción y semejanza entre cada una de sus partes (circunferencia, radio, área, diámetro).

      El signo de semejanza es ~ y en Geometría, diremos que dos figuras son semejantes si, y solo si, tienen la misma forma, pero no necesariamente el mismo tamaño; dicho de otra forma, sería que una figura corresponde a la ampliada de la otra.

      Consideraciones importantes:

      • Si dos polígonos regulares tienen igual número de lados, entonces son semejantes.
      • Toda circunferencia es semejante a otra circunferencia.
      • La congruencia es un caso particular de la semejanza.

      Específicamente para nosotros que nos encontramos estudiando para la prueba de transición tendremos que enfocarnos en la semejanza de triángulos.

      De modo general, diremos que dos triángulos son semejantes cuando los ángulos de uno de ellos sean respectivamente  congruentes (tienen las mismas dimensiones) con los ángulos del otro y, además, tengan proporcionales sus lados homólogos (correspondientes).

      Para avanzar en la comprensión del concepto de semejanza es preciso definir y entender qué son lados homólogos (correspondientes) y qué es proporcionalidad, para esto utilizaremos la siguiente figura:


      Los lados homólogos (correspondientes) son, respectivamente:

      a' ; b' ; c' 

      Si hacemos la división entre los lados homólogos (correspondientes) el resultado es 2 (10 dividido 5, 8 dividido 4 y 6 dividido 3); este valor recibe el nombre de razón y cuando la razón es igual en todos y cada uno de los lados homólogos (correspondientes), se dice que los lados son proporcionales.

      Para comprobar si dos triángulos son semejantes existen teoremas o criterios de semejanza, los cuales ayudan a determinar la semejanza o no de dos triángulos.

      Importante

      Cuando se dice que el triángulo ABC es semejante con el triángulo DEF, se escribe:

      Δ  ABC ~ Δ DEF

      Es muy importante el orden en que se escriban los vértices de cada triángulo, ya que esto establece los lados y los ángulos homólogos.

      En el ejemplo anterior, se tiene que:

      El vértice A es homólogo con el vértice A'

      El vértice B es homólogo con el vértice B'

      El vértice C es homólogo con el vértice C'

      El lado AB es homólogo con el lado A'B'

      El lado BC es homólogo con el lado B'C'

      El lado AC  es homólogo con el lado A'C'

      Teniendo esto claro, es momento de definir el teorema fundamental de la semejanza de triángulos.

      Toda paralela a cualquier lado de un triángulo forma con los otros dos lados un triángulo semejante al primero, y para que dos triángulos sean semejantes basta con que cada uno posea dos ángulos congruentes.

      Utilizaré lo siguiente para poder explicarte mejor:


      Hipótesis: Si  FG // DE, entonces

      Tesis: Δ HFG ~ Δ HDE

      Criterios de semejanza:

      • Criterio de semejanza ángulo-ángulo-ángulo: Si dos triángulos tienen tres ángulos cada uno respectivamente congruente con los ángulos del otro, entonces los triángulos son semejantes.


      En este caso tenemos que Δ ABC ~ Δ EDF

      • Criterio de semejanza lado-lado-lado (L-L-L): Si dos triángulos tienen sus tres lados proporcionales, entonces son semejantes
      • Criterio de semejanza lado-ángulo-lado (L-A-L): Si dos triángulos tienen cada uno dos lados correspondientes proporcionales y el respectivo ángulo que forman es congruente, entonces los triángulos son semejantes.
      • Criterio de semejanza lado-lado-ángulo (L-L-A): Para que dos triángulos sean semejantes, basta que tengan dos de sus lados respectivamente proporcionales, y que cada ángulo opuesto al mayor de esos lados sea congruente con su homólogo.

      Corolario:

      • Si dos triángulos son semejantes entonces sus transversales de gravedad, sus alturas, sus perímetros, etcétera se encuentran en la misma razón que sus lados.
      • Si dos triángulos son semejantes entonces la razón entre sus áreas es igual al cuadrado de la razón entre sus lados.

      A continuación te dejaré un video con el cual podrás aclarar algunas de las dudas que pudieron haberte surgido a lo largo de este tema. Recuerda que si tienes otras dudas puedes escribirlas en el foro.



      • Ejercicios semejanza


      • Teorema de Tales


        El teorema de Tales es una ley de la geometría que nos indica que si se traza una línea paralela a cualquiera de los lados de un triángulo tendremos como resultado un triángulo semejante al triángulo original.
        Este teorema  se divide en dos:

        Primer Teorema de Tales

        El Primer Teorema de Tales enuncia que si en un triángulo dado se traza un segmento paralelo a uno de sus tres lados, el nuevo triángulo generado será semejante al primero.

        Te lo explico mejor con un ejemplo, observa el siguiente triangulo ABC, si a este se le traza un segmento DE. Vemos que aparece un nuevo triangulo ADE semejante al primero. tienen sus tres ángulos iguales y sus lados correspondientes son proporcionales



        De acuerdo con el teorema, se verifica que:


        En el siguiente video podrás ver la historia del teorema de tales y encontrarás otra explicación y un ejemplo que pueden ayudarte a comprender mejor este teorema.



        Extensión del teorema de Tales

        El teorema de Tales puede extenderse al análisis de dos líneas cualquiera que son cortadas por otras líneas paralelas entre sí, como vemos en la siguiente imagen:


        Otra variante del primer teorema de Tales


        Si dos rectas cualesquiera (en la imagen: m y n) son cortadas por una serie de rectas paralelas (en la imagen: rs y t), los segmentos que se forman en una de ellas son proporcionales a los segmentos correspondientes formadas en la otra recta.

        Donde se sigue verificando la razón de proporcionalidad que se ha visto en la primera formulación de este teorema:


        Esta razón o igualdades determinan a su vez al criterio de paralelismo de rectas.

        Segundo teorema de Tales

        Existe también un segundo teorema de Tales según el cual, si tenemos un triángulo formado por el diámetro de una circunferencia y dos líneas secantes a la misma (cortan la figura en dos puntos), aquel ángulo que está frente al diámetro es recto, es decir, mide 90º.

        Cabe recordar que un diámetro es aquel segmento que, pasando por el centro de la circunferencia, uno dos puntos opuestos de dicha figura.

        Lo anterior lo podemos observar mejor en la siguiente imagen:


        Este teorema lo podemos comprobar tomando en cuenta que AC, AD y AB miden lo mismo y son iguales al radio de la circunferencia (el radio es cualquier segmento que une un punto de la circunferencia con el centro de la figura y es igual a la mitad del diámetro). Entonces, lo triángulos ABC y ABD son isósceles y sus dos lados que son similares están opuestos a ángulos que también miden lo mismo, es decir:

        AC=AD=AB= r (radio de la circunferencia)

        γ=β y α=δ

        Luego, si vemos el triángulo CBD y recordamos que los ángulos internos de un triángulo deben sumar 180º, tenemos que:

        γ+β +α+δ=180º

        2β+2α=180º

        2(α+β)=180º

        α+β=90º

        Por lo tanto, el triángulo CBD es un triángulo rectángulo.

        Para que comprendas con mayor profundidad este toerema te adjunto el siguiente link: 




         Ahora que ya conoces más acerca del Teorema de Tales, realiza la siguiente actividad de Geogebra, de esta forma podrás reflexionar y darle más sentido a lo aprendido. https://www.geogebra.org/m/vekpubva

         En este momento solo queda ejercitar. ¡VAMOS!
        • Ejercicios Teorema de Thales


          A continuación podrás observar un Genially, en el cual hay 5 ejercicios para que resuelvas y al final encontrarás su desarrollo. Si tienes otro ejercicio que te gustaría que resolviera del Teorema de Tales, compartelo en el foro. ¡Ahora a ejercitar!
        • Homotecia

          En geometría el concepto de homotecia se utiliza para mencionar el vínculo que establecen dos figuras cuando sus puntos correspondientes se encuentran alineados en un punto fijo. Se trata, por lo tanto, de una correspondencia entre figuras geométricas.

          HomoteciaLa homotecia implica partir de un punto fijo conocido como centro o punto O. Para obtener los puntos homotéticos, las distancias se multiplican por un factor común: así, a cada punto P, le corresponde un punto P’, ambos alineados con el punto O.

          Los llamados puntos homotéticos son los puntos transformados mediante la multiplicación de los puntos originales por el factor común. Estos puntos homotéticos están alineados con el punto O y con segmentos que son paralelos entre sí.

          Lo que permite la homotecia es transformar una figura en otra semejante, pero no congruente. La relación supone que la figura obtenida es de menor o de mayor tamaño que la original.

          Existen distintos tipos de homotecia. La homotecia directa se produce cuando la constante es mayor que 0, de manera tal que todos los puntos homotéticos se hallan en el mismo lado en comparación al centro. La homotecia inversa, en cambio, supone que la constante es menor que 0; en este caso, los puntos se disponen en extremos opuestos respecto al punto O.

          Entre las propiedades de la homotecia, cabe destacar que el centro es el único punto doble (no varía). Las rectas que pasan por el centro son dobles, aunque los puntos que la forman no lo son, mientras que las rectas que no pasan por el punto O se convierten en rectas paralelas.

          A continuación te presentaré un video simple que explica que es la homotecia 



          Para complementar lo anterior puedes ver el siguiente video, en este se explica de manera más completa la definición de homotecia  y sus propiedades. 



          Saca lápiz, goma, regla y por su puesto, tu cuaderno para que comiences a practicar de inmediato junto al siguiente video



          ¡Recuerda que cualquier duda que te haya quedado debes escribirla en el foro de consultas!


          • Evaluación Final