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General
Presentación del curso
Hola! Mi nombre es Angelo Freire y en este curso estudiaremos los contenidos relacionados con la Unidad 2: "Sistemas de ecuaciones lineales. Área y perímetros de sectores y segmentos circulares". Esta unidad se encuentra enmarcada en el eje de Álgebra del curso de primer año medio del sistema escolar chileno, sin embargo es útil para cualquier persona que desee aprender acerca de estos contenidos. En esta se busca que los estudiantes puedan reforzar lo aprendido sobre la función lineal incorporando las nociones de sistemas de ecuaciones lineales (2x2) y la linealidad en dos variables. Además, se busca que los alumno desarrollen áreas y perímetros de sectores y segmentos circulares. Para lograr esto, dentro del programa del MINEDUC podemos observar tres objetivos de aprendizaje de los cuales sólo cubriremos los siguientes:
OA4: Resolver sistemas de ecuaciones lineales (2x2) relacionados con problemas de la vida diaria y de otras asignaturas, mediante representaciones gráficas y simbólicas, de manera manual y/o con software educativo.
OA6: Desarrollar la fórmula de los valores del área y del perímetro de sectores y segmentos circulares, respectivamente, a partir de ángulos centrales de 60°, 90°, 120° y 180°, por medio de representaciones concretas.
Por último animarte a poder aprender lo que este curso te puede ofrecer! Si te encuentras cursando primer año medio, si te estás preparando para rendir alguna prueba importante, si deseas estudiar algo relacionado con la matemática o si es simple curiosidad te aseguro que este contenido te será de mucha utilidad. Además destacar que este contenido no es difícil, por lo que no serán necesarias grandes cantidades de tiempo y esfuerzo.¡BIENVENIDO AL CURSO!
- Tema actual
Sistemas de ecuaciones
Antes de iniciar debemos recordar un concepto importantísimo y es el de ecuaciones.
¿Recuerdas qué era una ecuación?
Bueno, una ecuación corresponde a una "relación de igualdad" entre dos cantidades en donde usualmente aparece una incógnita y, dado que ambas cantidades son iguales, ¡podemos hallar el valor de la incógnita! A continuación tienes un ejemplo de cómo resolver una ecuación:
Resolver ecuaciones es el punto de partida para comenzar a resolver sistemas de ecuaciones por lo que es necesario que, si no comprendes del todo este contenido, puedas estudiarlo por tus medios. De cualquier manera te dejamos un segundo ejemplo con el que puedes seguir estudiando!
¡Con este concepto ya aprendido podemos comenzar!
DESAFÍO! Grafica las siguientes ecuaciones:
a) \( y=x+2 \) b) \( 12+2x=y+15 \)
RECURSO: Para graficar con más precisión ambas rectas te recomendamos utilizar el software Geogebra el cual te dejamos a continuación.
Utiliza este software para graficar los puntos que encuentres y así obtener la recta que representa la gráfica de cada ecuación.
Método gráfico
Ahora veremos el primer método para resolver sistemas de ecuaciones de 2x2, sin embargo, hay un concepto muy importante de recordar y es el de:
Graficar una ecuación lineal
¿Recuerdas cómo hacerlo? A modo general lo que debíamos hacer es:
1. Encontrar dos puntos que satisficieran a la ecuación.
2. Graficar los puntos hallados en el punto anterior.
3. Trazar la recta que une estos dos puntos.
Para ver esto de mejor manera te invito a revisar el siguiente video:
El método gráfico
Ahora que sabes graficar la recta asociada a una ecuación estamos en condiciones de estudiar el método gráfico para resolver sistemas de ecuaciones 2x2. Para esto basta con tomar cada ecuación del sistema, graficarla y luego hallar el punto de intersección entre estas dos rectas, ¡esa será la solución de nuestro sistema!
Para verlo de mejor manera te invito a revisar el siguiente video:
Recuerda que si aún no comprendes bien este método puedes revisar más material en la web o comunicarte con el profesor del curso!
EJERCICIOS! Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones utilizando el método gráfico:
a) \( x+y=8\) b) \( 2x+y=8\) c) \( 5y+3x=7\)
\( x-y=2 \) \( 3x-2y=5 \) \( 2x-y=-4\)
Utiliza este software para:
1. Graficar los puntos que encuentres
2. Trazar las rectas que representen las ecuaciones del sistema
3. Encontrar la solución del sistema!
Método de sustitución
El segundo método que revisaremos corresponde al método de sustitución. Este método consiste en:
1. Elegir una de las ecuaciones y despejar una de las incógnitas.
2. Reemplazar la expresión resultante del paso anterior en la segunda ecuación.
Esto nos llevará a encontrar el valor de una de las incógnitas, luego sólo debemos reemplazar en alguna de las ecuaciones para encontrar la incógnita que nos falta.
Para verlo más claro te invito a revisar el siguiente video.
EJERCICIOS! Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones utilizando el método de sustitución:
a) \( x+y=8\) b) \( 2x+y=1\) c) \( 7y+5x=-2\)
\( x-y=2 \) \( 3x+4y=9 \) \( 2x-3y=5\)
Utiliza está página para comprobar tus resultados!
Para hacerlo sólo debes escribir las ecuaciones del sistema separadas por una coma
Ejemplo: \( x+y=8, x-y=2 \)
Método de Igualación
El tercer método a revisar corresponde al método de igualación. Este método consiste en:
1. Elegir una incógnita y despejarla en ambas ecuaciones.
2. Igualar las expresiones.
3. Despejar la incógnita.
Esto nos llevará a encontrar el valor de una de las incógnitas, luego sólo debemos reemplazar en alguna de las ecuaciones para encontrar la incógnita que nos falta.
Para verlo más claro te invito a revisar el siguiente video:
EJERCICIOS! Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones utilizando el método de igualación:a) \( x+y=8\) b) \( 5x+4y=22\) c) \( 2x-3y=1\)
\( x-y=2 \) \( -x+4y=10 \) \( 5x+2y=4\)
Utiliza este software para comprobar tus resultados!
Método de Reducción
El método de reducción es el último método que aprenderemos a usar y es el preferido de los estudiantes. ¿Por qué? pues porque es el más rápido y directo de todos los métodos.
Este método consiste en amplificar o simplificar las ecuaciones del sistema de modo que al sumarlas una de las variables desaparezca. De este modo, como sólo nos queda una variable por encontrar, basta con despejarla y encontrar su valor. Luego reemplazamos en una de las ecuaciones
Con el siguiente ejemplo te quedará más claro:
En caso de que aún no comprendas bien este método puedes buscar más material en la web o pedir ayuda al profesor del curso.
EJERCICIOS: Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones utilizando el método de reducción:
a) \( x+y=8\) b) \( x+5y=22\) c) \( 3y+4x=18\)
\( x-y=2 \) \( 3x+4y=11 \) \( 5x-6y=3\)
Utiliza este software para comprobar tus resultados!
El Sector Circular
El tema de "Sector Circular" se encuentra estrechamente relacionado con lo que es el círculo por lo que es necesario recordar dos conceptos súper importantes los cuales son: perímetro y área de un círculo.
Para recordar estos conceptos te invitamos a revisar el siguiente video:
PERÍMETRO DEL CÍRCULO
ÁREA DEL CÍRCULO
Ahora que recordamos cómo obtener el perímetro y área del círculo podemos ver que esto del "sector circular".
¿Qué es un sector circular? El sector circular corresponde a un "sector" del circulo delimitado por el arco de cirfunferencia correspondiente y dos radios, algo semejante a lo que podría ser un trozo de pizza
Si te das cuenta se trata de una "parte" del círculo, pero esta no se encuentra formada de una manera cualquiera sino que, tal como mencionamos antes, se trata de un sector del círculo delimitado por un arco de circunferencia y dos radios.
Área y Perímetro de un Sector Circular
Ahora que sabemos lo que es un sector circular aprenderemos a calcular el perímetro y el área de este. Para ello te invitamos a revisar los siguientes videos:
PERÍMETRO DE UN SECTOR CIRCULAR
ÁREA DE UN SECTOR CIRCULAR
El Segmento Circular
Un Segmento Circular corresponde a la región del círculo delimitada por un arco de circunferencia y la cuerda que une los dos extremos de este arco. Visualmente se ve de esta manera:
En este caso la parte pintada en color rojo corresponde al segmento circular puesto que se condice con lo que te comentamos anteriormente: región del círculo delimitada por un arco de circunferencia y la cuerda que une los extremos de este arco.
Área y Perímetro de un Segmento Circular
Ahora que sabemos lo que es un segmento circular estamos en condiciones para poder caluclar el perímetro y el área de este, y para ello te invitamos a observar los siguientes videos:
PERÍMETRO DE UN SEGMENTO CIRCULAR
ÁREA DE SEGMENTO CIRCULAR
Evaluación Final