Curso: Geometría de 4° a 6° Básico

Diagrama de temas

General

GEOMETRÍA PARA ALUMNOS DE 4°, 5° Y 6° AÑO BÁSICO
- INTRODUCCIÓN AL CURSO Archivo
- DESCRIPCIÓN DEL CURSO Página
- FORO SOBRE GEOMETRÍA PARA ALUMNOS DE 4º A 6º AÑO BÁSICO
- En este curso pretendemos ser parte importante de tu estudio. Queremos que veas esta página como un complemento permanente a tu aprendizaje del cual puedes hacer uso las veces que quieras, pues es toalmente gratuito y nuestro único objetivo es sólo facilitarte la tarea de estudiar geometría ; el tiempo de estudio con este medio lo determinarás tú, considerando tus actividades y entregándole los minutos que estimes necesarios, siempre y cuando cumplas con los requerimientos de la asignatura.
  ¡¡¡Ahora a aprender!!!
  
  Tabla de contenidos:
  
  Se presentan a continuación los contenidos que abordaremos en el curso:
  
  Cuatro básico:
  -Polígonos.
  -Definición y clasificación de cuadriláteros.
  -Unidades de medida estandarizadas de longitud.
  -Perímetro del rectángulo y el cuadrado.
  -Unidades de medida estandarizadas de área.
  -Área del rectángulo y del cuadrado.
  -Unidades de medida estandarizadas de volumen.
  -Volumen de un cuerpo.
  
  Quinto básico:
  -Cálculo de áreas y perímetro, circunferencia, paralelógramos, triángulos.
  -Cuerpos geométricos planos: Poliedros (cubos, prismas, pirámides).
  -Cuerpos geométricos curvos: Cilindros, conos y esferas.
  
  Sexto básico:
  -Volumen de algunos cuerpos geométricos.
  - Plano cartesiano y medida de ángulos.
  -Ángulos y clasificación según su medida.
Tema 1

GEOMETRÍA PARA CUARTO AÑO BÁSICO:

Introducción:

La geometría, del griego geo (tierra) y metria (medida), es una rama de la matemática que se ocupa de las propiedades de las figuras geométricas en el plano o el espacio, como son: puntos, rectas, planos, polígonos, poliedros, paralelas, perpendiculares, curvas, superficies, etc. Sus orígenes se remontan a la solución de problemas concretos relativos a medidas y es la justificación teórica de muchos instrumentos, por ejemplo el compás. Tiene su aplicación práctica en muchas disciplinas. También da fundamento teórico a inventos como el sistema de posicionamiento global, o por sus siglas en inglés, GPS ( Global Positioning System) y es útil en un sinfín de aplicaciones en la vida cotidiana, de aquí la importancia para conocer un poco más de esta disciplina.

1) Cuadriláteros:

Un cuadrilátero es un “polígono” de cuatro lados. Vamos a definir algunos conceptos que tal vez no sepas o has olvidado a través del tiempo para luego dedicarnos al estudio de los cuadriláteros.

Primero, ¿qué son los polígonos?
Los polígonos son figuras planas cerradas, formadas por tres o más segmentos.

Polígono irregular
En geometría, se le llama polígono irregular a un polígono cuyos lados o ángulos interiores no son iguales entre sí.
Estos son polígonos irregulares:

A los segmentos que forman el polígono los llamaremos “lados del polígono”.
Por ejemplo este polígono posee tres lados, es un triángulo.

A los puntos que se forman donde se juntan los lados de los polígonos los llamaremos “vértices”.
Por ejemplo este polígono posee cuatro vértices, es un cuadrilátero:

A la separación que se forma entre dos lados consecutivos (uno a continuación de otro) le llamaremos “ángulo”.
Por ejemplo este polígono posee cinco ángulos, es un pentágono.

Un polígono se denomina por la cantidad de sus lados.
Si te fijas bien todos los polígonos tienen igual número de ángulos, de vértices y de lados.

Polígono regular
En geometría, se le llama polígono regular a un polígono cuyos lados y ángulos interiores son congruentes todos entre sí. Los polígonos regulares de tres y cuatro lados se llaman triángulo equilátero y cuadrado, respectivamente. Para polígonos de más lados, se añade el término regular (pentágono regular, hexágono regular, etc).
Estos son algunos polígonos regulares:

Haz la siguiente actividad práctica, en las figuras anteriores cuenta los lados, vértices, ángulos y diagonales que tiene cada figura y piensa qué significa lo que encontrase.
Te sugerimos que te hagas las siguientes preguntas:
¿Igual cantidad de qué elementos encontraste en cada uno de los polígonos?
¿Se pueden encontrar mas diagonales que vértices en algún polígono?
Si crees que entendiste esta parte de los contenidos que hemos revisado hasta ahora, te invitamos a hacer las primeras seis actividades y evalúa tu desempeño haciendo Click aquí.

OJO:
Se denomina polígono a la frontera que forma la figura, el interior de ésta figura NO forma parte del polígono, sólo su frontera conformada por sus lados y vértices pertenecen al polígono.
La razón de agregar color en el interior de los polígonos en este curso, es simplemente para hacerlo más atractivo a la vista.

Cuadriláteros:
Como dijimos con anterioridad, un cuadrilátero es un polígono que tiene cuatro lados. Los cuadriláteros pueden tener distintas formas, pero todos ellos tienen cuatro vértices, cuatro lados, cuatro vértices y dos diagonales (una diagonal es la unión de dos vértices que no están uno a continuación del otro), como por ejemplo: paralelogramo (cuadrado, rectángulo, rombo), trapecio y trapezoide.

Diagonales

Las líneas rojas en estos cuadriláteros son las diagonales que poseen.

Clasificación de los cuadriláteros:
Los cuadriláteros podemos clasificarlos según su cantidad de lados paralelos en:
Paralelógramos, trapecios y trapezoides.

a) Paralelógramos:
Son cuadriláteros que poseen sus dos pares de lados paralelos*.
Los cuadrados, rectángulos y rombos son paralelógramos.
*Lados paralelos son aquellos que nunca se intersectan entre sí, y si haces la prolongación de esos lados, estas prolongaciones tampoco se intersectarán jamás.
Ejemplos de lados paralelos y no paralelos.

Ejemplos de paralelógramos:

b) Trapecios:
Son cuadriláteros que poseen un par de lados pralelos y el oto par de lados NO paralelos.
Ejemplos de trapecios:

c) Trapezoides:
Son cuadriláteros en los que no existe ningún par de lados paralelos.
Ejemplos de trapezoides.

Para ver si realmente aprendiste, desarrolla la siguiente actividad y sus cuatro sesiones en la siguiente autoevaluación haciendo Click aquí.

Con estos conocimientos podemos partir definiendo que son los cuadrados y los rectángulos para luego poder comenzar a estudiar el concepto de área en ellos, así tenemos que:
Un rectángulo es un cuadrilátero que posee dos pares de lados paralelos.

Un cuadrado es un cuadrilátero que posee dos pares de lados paralelos y a demás sus cuatro lados miden lo mismo.
Sabiendo esto puedes contestar la siguiente pregunta:
¿Puede un cuadrado ser un rectángulo?

Si tu respuesta es SI, pues déjame decirte que estás en lo correcto, ¿Por qué?, pues es sencillo, si te fijas en la definición de rectángulo sólo dice que es un cuadrilátero que posee dos par de lados paralelos, y el cuadrado es un cuadrilátero con sus dos par de lados paralelos, por lo que podríamos decir que el cuadrado es un rectángulo especial, pues posee sus cuatro lados iguales.
Tema 2

2.- Perímetro y área del rectángulo y el cadrado:

a) Concepto de perímetro del rectángulo y el cuadrado:

Unidades de medición de longtud
El largo o longitud de una distancia determinada se puede medir con una regla, o con algún sistema de medición competente, por ejemplo, si analizas tu regla o escuadra, podrás ver que en ella existen una serie de divisiones y unos números que simbolizan los llamados centímetros, una unidad de medida comúnmente utilizada para medir objetos pequeños, como por ejemplo una hoja de papel, en cambio si lo que necesitamos medir es mucho más extenso y na regla no es suficiente para alcanzar la magnitud que necesitamos, como en una cancha de fútbol, se suele utilizar el metro, que es lo mismo que juntar 100 centímetros.

Perímetro
La palabra perímetro viene del griego peri (alrededor) y metro (medida) . El perímetro es la medida del contorno de una superficie. El perímetro de un polígono es una medida de longitud que se calcula sumando las medidas de todos sus lados.

Para poder aplicar el concepto de perímetro, primero necestamos tener ciertas nociones de medidas de longitud.
Si nos fijamos en la forma que tiene el rectángulo y sumamos las longitudes de sus lados, podemos darnos cuenta que siempre se repiten dos veces cada medida de sus lados como se aprecia a continuación:

Esto siempre ocurre en los rectángulos, de aquí podemos deducir que el perímetro es igual a sumar el doble de una medida con el doble de la otra medida de lados como sigue:
Perímetro rectángulo= 2 x 4 cm + 2 x 6 cm = 20 cm
En el caso del cuadrado, la cosa se simplifica mucho más aún, pues todo cuadrado tiene todos sus lados con iguel medida, si sumamos las medidas de los lados de un cuadrado como el que sigue:

Acá podemos ver que el perímetro de un cuadrado es igual a cuatro veces la medida de uno de sus lados, o sea:
Perímetro cuadrado = 4 x 4 cm = 16 cm

b) Concepto de área del rectángulo y el cuadrado:

En el tema número uno vimos los cuadriláreros, como requisito anes de poder interiorizarnos en el concepto de área de un rectángulo cualquiera, pues primero debemos entender la naturaleza de la figura, para luego trabajar con ella.

Pero antes de comezar con el tema de áreas de figuras geométricas, debemos tener ciertas nociones de medición de superficies o áreas, por lo que éste será nuestro próximo obstáculo a sortear.
Unidades de medición de área
Observa el siguiente rectángulo:

Si consideramos como unidad de medida el siguiente cuadrado:

¿Cuántas veces está contenido en el rectángulo?
Si superponemos el cuadrado sobre el rectángulo vemos que está contenido 8 veces.

Entonces su área sería 8 unidades cuadradas.
Si ahora consideramos el mismo rectángulo:

Pero como unidad de medida tomamos el siguiente cuadrado.

¿Cuántas veces está contenido en el rectángulo?

Si superponemos el cuadrado sobre el rectángulo vemos que está contenido 2 veces.

Entonces su área sería 2 unidades cuadradas.
Si quisiera calcular el área de una cancha de fútbol, ¿qué me convendría usar como unidad de medida?

Si observas una regla te darás cuenta que existen distintas unidades de medida (centímetros, milímetros, etc), para calcular el área también, ya que, si la superficie es muy grande y la mides con un cuadrado muy pequeño demoraría demasiado tiempo.

Así, generalmente para medidas pequeñas utilizamos el centímetro, y para zonas mayores, como el largo y el ancho de una cancha de futbol, utilizamos el metro que son 100 centímetros.

Ahora, en vez de utilizar cuadraditos (unidadas cuadradas) para medir superficies de figuras, uilizaremos un cuadrado especial, que mida, en todos sus lados, 1 cm, al cual llamaremos centímetro cuadrado, y lo denotaremos por cm² .

Por ejemplo, dibujaremos un rectángulo de dos lados de 3 cm y los otro dos de 5 centímetros y colocaremos sobre él centímetros cuadrados para ver cuantos caben:

Se puede ver que si contamos los centímetros cuadrados que caben en el rectángulo son 15, por lo que podemos decir que su área está formada por 15 cm² .

Si observas, obtuvimos 15 cm² , y esto es lo mismo que podremos conseguir si multiplicamos la medida de un lado por la medida del otro lado, esto es 3 x 5 = 15

De acá podemos deducir que el área de un rectángulo es igual a multiplicar la medida de dos lados distintos del rectángulo.

Tarea: Para comprobar si la afirmación anterior es correcta, te invitamos a que dibujes varios rectángulos de medidas distintas a las del ejemplo anterior, que midas y cuentes los cm² obtenidos, luego calcules la multiplicación de sus lados y compares los resultados obtenidos y pienses ¿qué encontraste?

Puedes realizar los siguientes rectángulos uno de 5cm x 4cm, uno de 2cm x 3cm, uno de 4cm x 2cm, etc.

Ahora dibujaremos un cuadrado de 3 cm por lado y colocaremos sobre él centímetros cuadrados para ver cuantos caben:

Se puede ver que si contamos los centímetros cuadrados que caben en el cuadrado son 9, por lo que podemos decir que su área está formada por 9 cm² .

Si observas, obtuvimos 9 cm² , y esto es lo mismo que podremos conseguir si multiplicamos la medida de un lado por la medida del otro lado, esto es 3 x 3 = 9

De acá podemos deducir que el área de un cuadrado es igual a multiplicar la medida de dos lados del cuadrado.

Tarea: Al igual que con el rectángulo, para comprobar si la afirmación anterior es correcta, te invitamos a que dibujes varios cuadrados de medidas distintas a las del ejemplo anterior, que midas y cuentes los cm² obtenidos, luego calcules la multiplicación de sus lados y compares los resultados obtenidos y pienses ¿qué encontraste?

Puedes realizar los siguientes cuadrados uno de 4cm de lado, uno de 2cm de lado, uno de 5cm de lado, etc.

Si piensas que has entendido claramente los contenidos de esta sección, te invitamos a que realices el siguiente práctico haciendo Click aquí.
Tema 3

3.- Volúmen de un cuerpo:

Antes de empezar en esta parte del curso vas a aprender a calcular con soltura los volúmenes de los cuerpos geométricos elementales y también los volúmenes de otros cuerpos más complejos, por descomposición en cuerpos sencillos.

De esta forma, con esta base y más adelante podrás resolver muchos problemas reales, entre ellos:

¿Cuántos peces se pueden meter en un acuario?

¿Cuánto pesa cada bloque de hormigón?

¿Qué capacidad tiene la copa?

Volúmen y capacidad

Unidades de volúmen
El volúmen de un cuerpo es la cantidad de espacio que ocupa. La unidad principal es el metro cúbico (m3).

Una unidad de volúmen es 1000 veces mayor que la del orden inmediato inferior y 1000 veces más pequeña que la del orden inmediato superior.

Capacidad y volúmen
El volúmen es la cantidad de espacio que ocupa un cuerpo y capacidad es lo que cabe dentro de un recipiente.

Un litro (l) es la capacidad de una caja cúbica de 1 dm de lado.
En general se llama capacidad de un recipiente a su volúmen.

Si crees que entendiste los contenidos entregados en este capítulo, hasta ahora, te invitamos a realizar la siguiente actividad de autoevaluación haciendo Click aquí y luego Click aquí.

Algunos volúmenes interesantes

El cubo

Un cubo es un prisma particular formado por seis caras cuadradas. Su volúmen es el cubo de la longitud de la arista.

Volumen (V)= a · a · a = a³

Si entendiste práctica, ejercita lo que aprendiste haciendo Click aquí.

Deducción de fórmulas

Un cubo de 3 cm de arista estaría formado por 3*3*3 = 3³ = 27 cubos unidad, de un cm³ cada uno.

Un cubo de 4 cm de arista estaría formado por 4*4*4 = 4³= 64 cubos unidad, de un cm³cada uno. En general, el volúmen de un cubo es la longitud de la arista al cubo.

El ortoedro

Un ortoedro es un prisma cuyas caras son todas rectangulares.

Volumen (V)= a · b · c

El volúmen de un ortoedro es el producto de las longitudes de las aristas.

Para afianzar los conocimientos adquiridos, te invitamos a efectuar la siguiente actividad autoevaluativa haciendo Click aquí.

Si te interesó el tema y quieres aprender más de volúmenes, te invitamos a entrar en el siguiente sitio con muchas acyividades e información hecha en forma especial para tí.
Tema 4

GEOMETRÍA PARA QUINTO AÑO BÁSICO:

Cálculo de perímetro y área

Como se explicó en capitulos anteriores, el procedimiento de cálculo de área y perímetro no tiene gran dificultad.

Una vez entendido el concepcto vale ponerlo en práctica y aplicar lo aprendido.

Perímetro: es la suma de los lados de una figura geométrica. Es su contorno.

Ejemplos:

En la figura, los lados del triángulo miden 4 cm.

Para obtener el perímetro sumamos sus lados:

Perímetro = 4 cm + 4 cm + 4 cm = 12 cm

El perímetro del triángulo es 12 cm

En la figura, los lados del cuadrado miden 5 cm

Para obtener el perímetro sumamos sus lados:

Perímetro = 5 cm + 5 cm + 5 cm + 5 cm = 20 cm

Por lo tanto, el perímetro del cuadrado es 20 cm.

Los lados del rectángulo de la figura miden 10 cm. y 5 cm respectivamente.

El perímetro del rectángulo lo obtenemos sumando todos sus lados:

Perímetro = 10 cm + 5 cm + 10 cm + 5 cm = 30 cm

Por lo tanto, el perímetro del rectángulo es 30 cm.

En la figura, los lados del rombo miden 5 cm

El perímetro del rombo lo obtenemos sumando todos sus lados:

Perímetro = 5 cm + 5 cm + 5 cm + 5 cm = 20 cm

Por lo tanto el perímetro del rombo es 20 cm.

En la figura, los lados del romboide miden 8 cm y 6 cm respectivamentre

El perímetro del romboide lo obtenemos sumando todos sus lados:

Perímetro = 6 cm + 8 cm + 6 cm + 8 cm = 28 cm

Por lo tanto, el perímetro del romboide es 28 cm.

En la figura, los lados de este trapecio isósceles (ya que existen otros: trapecio rectángulo y trapecio escaleno) miden 8 cm, 5 cm, 10 cm, 5 cm respectivamente

El perímetro del trapecio isósceles lo obtenemos sumando todos sus lados:

Perímetro = 5 cm + 8 cm + 5 cm + 10 cm = 28 cm

Por lo tanto, el perímetro del trapecio isósceles es 28 cm.

Como sabemos de los capitulos anteriores

Área: es la medida de la superficie de una figura; es decir, la medida de su región interior.

Área del cuadrado

El área del cuadrado corresponde a la medida de la región verde, y se obtiene multiplicando la base por la altura.

Área = base · altura

Los lados del cuadrado miden 5 cm cada uno

Donde la base del cuadrado mide 5 cm y la altura del mismo mide 5 cm

Área= 5 cm · 5cm = 25cm²

el área del cuadrado es 25 cm².

Área de un rectángulo

El área del rectángulo corresponde a la medida de la región celeste, y se obtiene multiplicando la base por la altura.

Área = base · altura

Los lados del rectángulo de la figura miden 10 cm. y 5 cm.

Donde la base del rectangulo es 10 cm y la altura es 5 cm

Área = 10 cm · 5 cm= 50 cm²

el área del rectángulo es 50 cm²

^{A diferencia del perímetro, es necesario explicar cómo se calcula el área del cuadrado y del rectángulo primero para comprender como se calcula el área del triángulo. Ahora que ya tenemos esto hecho podemos calcular el área del triángulo.}

Lo que el dibujo señala es que imaginariamente DUPLICAMOS el área del triángulo que tiene por base=b y altura=h, formando un ROMBOIDE, del que se puede trabajar directamente o podemos hacer un proceso similar y se extrae UNA PARTE DEL ROMBOIDE que hacemos calzar al lado opuesto formando un RECTÁNGULO, y como sabemos calcular el área del rectángulo, entonces tambien sabemos calcular el ÁREA DEL TRIÁNGULO. No hemos de olvidar que, en el último dibujo hay un rectángulo que se completó con la DUPLICACIÓN DEL ÁREA DEL TRIÁNGULO, por lo tanto el área resultante es el doble del área que nosotros estamos buscando.
Ya considerando esto entonces el área resultante será base por altura, y el producto resultannte debemos dividirlo por 2.

En este caso la base del triángulo mide 6 cm y su altura mide 4 cm.

Luego para conseguir su área multiplicamos su base = 6 cm por su altura = 4 cm lo que entrega 24 cm² , pero no olvidemos que este resultado debemos dividirlo por 2, eso quiere decir que el área del triángulo es 24 cm² /2, así el resultado es 12 cm².

Área del rombo
Para esto debemos considerar las diagonáles que se generan dentro del rombo, como se ve en la imagen siguiente.

Se mostró el cálculo del área del triángulo antes de este, ya que son procesos muy similares.
En el cálculo del área del rombo se consideran, como se ve en el dibujo, las diagonales que se generan en la figura y acompañado de un proceso similar al que se utiliza al calcular el área del triángilo, el área del rombo viene dado por lo siguiente:

En este caso la Diagonal mayor del rombo mide 12 cm y su diagonal menor mide 8 cm

Para obtener el área del rombo se multiplica la diagonal mayor = 12 cm por su diagonal menor = 8 cm lo que entrega 96 cm², pero no olvidemos que el resultado obtenido debemos dividirlo por 2, así el área del rombo será 96 cm²/2 es decir 48 cm².

Área del romboide

El área del romboide viene dada por el producto entre la base y altura de la figura, como en el siguiente dibujo.

En este caso la base del romboide mide 12 cm y su altura mide 8 cm

Área = 12 cm * 8 cm = 96 cm²

Área del trapecio

Para obtener el área del trapecio isósceles, debemos considerar su base mayor, base menor y altura, como se muestra en el dibujo.
El área del trapecio isósceles viene dado por lo siguiente:

Lo podemos ver en la figura siguiente:

En este caso la base mayor del trapecio mide 15 cm, su base menor mide 10 cm y su altura mide 8 cm.

En este caso el área del trapecio isósceles lo calculamos sumando sus bases (mayor y menor) 10 cm + 15 cm = 25 cm, luego lo multiplicamos por la altura del trapecio, será 25 cm * 8 cm = 200 cm ², luego el resultado lo dividimos por 2. Así el área del del trapecio isósceles que tenemos arriba será 100 cm²

El centímetro cuadrado (cm²) es una unidad que nos permite medir áreas. También pueden ser metros cuadrados (m²), milímetros cuadrados (mm²), etc.

Dejamos links de interés para consolidar lo aprendido:

http://www.profesorenlinea.cl/geometria/PerimetroArea.htm

http://mimosa.pntic.mec.es/clobo/geoweb/area1.htm

http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Perimetros_y_Areas/00_index_perimetro.html
Tema 5

Cuerpos geométricos planos

El poliedro

Un poliedro es, en el sentido dado por la geometría clásica al término, un cuerpo geométrico cuyas caras son planas y encierran un volumen. La palabra poliedro viene del griego clásico (polyedron), de la raíz (polys), "muchas" y de (edra), "base", "asiento", "cara".
Si entendiste lo que es un poliedro, te invitamos a realizar la siguiente actividad haciendo Click aquí.

El prisma

Un prisma es un poliedro que tienen dos caras paralelas e iguales llamadas bases y sus caras laterales son paralelogramos.

Desarrollo del prisma

Elementos de un prisma

La Altura de un prisma es la distancia entre las bases.

Los lados de las bases constituyen las aristas básicas y los lados de las caras laterales las aristas laterales, éstas son iguales y paralelas entre sí.

Tipos de prismas

Prismas regulares

Son prismas cuyas bases son polígonos regulares.

Prismas irregulares

Son prismas cuyas bases son polígonos irregulares.

Prismas rectos

Son prismas cuyas caras laterales son rectángulos o cuadrados.

Prismas oblicuos

Son prismas cuyas caras laterales son romboides o rombos.

Paralelepípedos

Los paralelepípedos son prismas cuyas bases son paralelogramos.

Ortoedros

Los ortoedros son paralelepípedos que tienen todas sus caras rectangulares.

Tipos de prismas según su base
Prisma triangular
Sus bases son triángulos.

Prisma cuadrangular

Sus bases son cuadrados.

Prisma pentagonal

Sus bases son pentágonos.

Prisma hexagonal

Sus bases son hexágonos.

Pirámides

Son poliedros cuya base es un polígono cualquiera y cuyas caras laterales son triángulos con un vértice común, que es el vértice de la pirámide.

Elementos de una pirámide

La altura de la pirámide es el segmento perpendicular a la base, que une la base con el vértice.

La apotema de la pirámide es la altura de cualquiera de sus caras laterales.

Las aristas de la base se llaman aristas básicas y las aristas que concurren en el vértice, aristas laterales.

Clasificación de las pirámides

Pirámide regular

Es aquella que tiene de base un polígono regular y sus caras laterales iguales.

Pirámide irregular

Es aquella que tiene de base un polígono irregular.

Pirámide convexa

Es aquella cuya base es un polígono convexo.

Pirámide cóncava

Es aquella cuya base es un polígono cóncavo.

Pirámide recta

Es aquella en la que todas sus caras laterales son triángulos isósceles y la altura cae al punto medio de la base.

Pirámide oblicua

Es aquella en la que alguna de sus caras laterales no es un triángulo isósceles.

Tronco de pirámide

Es el cuerpo geométrico que resulta al cortar una pirámide por un plano paralelo a la base y separar la parte que contiene al vértice.

La sección determinada por al corte es la base menor.
Las caras laterales son trapecios isósceles.
Las apotemas son las alturas de los trapecios isósceles.
La altura es la distancia entre las bases.

Pirámide deficiente es la parte de la pirámide determinada por la base menor y el vértice.

Otros links de interés:

http://www.escueladigital.com.uy/geometria/5_cuerpos.htm

http://www.icarito.cl/enciclopedia/articulo/primer-ciclo-basico/matematica/geometria/2009/12/57-8568-9-cuerpos-geometricos.shtml
Tema 6

Cuerpos geométricos curvos: El cono, el cilindro y la esfera

Estos tres cuerpos se generan al hacer girar una línea alrededor de un eje. La línea que gira recibe el nombre de generatriz y los puntos que ella describe forman una circunferencia.

El cono

Es el cuerpo geométrico redondo que se obtiene al girar una recta oblicua desde un punto fijo del eje. A ese punto se le llama cúspide. La recta, llamada generatriz, gira a lo largo de una circunferencia, directriz, que se encuentra en otro plano.

Otra forma más sencilla de determinar la formación de un cono es decir que se genera al rotar un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos.

Elementos de un cono recto

- Eje: es el cateto AC. Alrededor de él gira el triángulo rectángulo.

- Base: es el círculo que genera la rotación del otro cateto, AB. Por lo tanto, AB es el radio del cono. La base se simboliza: O (A, AB)

- Generatriz: es la hipotenusa del triángulo rectángulo, BC, que genera la región lateral conocida como manto del cono.

- Altura: corresponde al eje del cono, porque une el centro del círculo con la cúspide siendo perpendicular a la base.

Observa los elementos del cono recto en este esquema:

El cono tiene una cara basal plana y una cara lateral curva. Posee una arista basal y un vértice llamado cúspide.

Cono recto y cono oblicuo

Si la altura coincide con su eje, el cono es recto. Si el eje y la altura no coinciden, el cono es oblicuo.

Red del cono

Al abrir un cono obtenemos su red, es decir, la plantilla dibujada en un mismo plano para poder construirlo.

La cara lateral o manto de un cono corresponde a un sector circular.
Llamamos sector circular a una parte del círculo formado por 2 radios y el arco de circunferencia comprendido entre ellos.

En el manto del cono, los radios son la generatriz, y el arco equivale al perímetro de la circunferencia basal.

El cilindro

Este cuerpo redondo se forma con todas las rectas paralelas que cortan a 2 circunferencias congruentes ubicadas en planos paralelos.

Nuevamente obtendremos, de forma más sencilla, la formación de un cilindro recto. Haremos girar un rectángulo alrededor de uno de sus lados.

Elementos de un cilindro recto

- Eje: lado AD, alrededor del cual gira el rectángulo

- Bases: son los círculos paralelos y congruentes que se generan al girar los lados AB y CD del rectángulo. Cada uno de estos lados es el radio de su círculo y también, el radio del cilindro.

- Altura: corresponde al mismo eje AD, es perpendicular a las bases y llega al centro de ellas. Esta es la razón por la que el cilindro es recto.

- Generatriz: es el lado BC, congruente con el lado AD, y que al girar forma la cara lateral o manto del cilindro.

Observa los elementos del cilindro en este esquema:

El cilindro tiene 2 caras basales planas, paralelas y congruentes, 1 cara lateral que es curva y 2 aristas basales.

Red del cilindro

Al abrir un cilindro y colocar todas las caras en un mismo plano, obtenemos su red. Así:

Puedes observar que en esta red se nos forma un rectángulo para la cara lateral, cuyos lados son el perímetro de las circunferencias que forman las bases.

La esfera

Es el cuerpo redondo que se genera al rotar un semicírculo alrededor de su diámetro.

Elementos de una esfera

- Generatriz: es la semicircunferencia que genera la superficie esférica

- Centro de la esfera: es el centro de la semicircunferencia y corresponde al punto O

- Radio de la esfera: es el radio de la semicircunferencia: OA

- Diámetro de la esfera: es el segmento que une 2 puntos opuestos de la superficie esférica, pasando por el centro: AB

Observa los elementos en este esquema:

La esfera tiene una sola cara curva.

Cortes

Una esfera puede ser cortada por un plano que pasa por su centro. De esta forma se obtienen 2 semiesferas y el plano deja como borde un círculo máximo.

Si el plano corta a la esfera sin pasar por su centro se obtienen 2 casquetes esféricos.

Dejamos acá links de interés para consolidar lo aprendido:

http://elcarretillu.blogspot.com/2012/06/el-cilindro-el-cono-y-la-esfera.html

http://primaria3naranjos.wordpress.com/category/matematicas/12-geometria/los-cuerpos-geometricos-poliedros-prismas-piramides-conos-cilindros-esfera/

http://www.estudiantes.info/matematicas/geometria/2-eso/cilindros,%20conos%20%20y%20%20esfera.htm
Tema 7

GEOMETRÍA PARA SEXTO AÑO BÁSICO:

Área y volumen de algunos cuerpos geométricos.

Los cuerpos geométricos son figuras tridimensionales, quiere decir, que poseen altura, ancho y largo, como la pieza en que tu duermes en las noches.

Vamos a calcular áreas y volúmenes de las figuras geométricas más importantes, como son: prismas, pirámides, cilindros, conos y esferas.

PRISMAS
Un prisma es un poliedro que tiene dos caras que son polígonos iguales y paralelos entre sí (bases) y el resto de caras son paralelogramos(caras laterales).La altura del prisma es la distancia entre las bases.

A=ALateral+2ABase=PBaseh+2ABase
PIRAMIDE

Es un poliedro con una cara (llamada "base") que es un polígono, y todos los demás lados triangulares que se unen en un punto en común (conocido como el "ápice").

A=ABase+ALateral=ABase+PBasea2

CILINDRO
Un cilíndro es una superficie formada por rectas paralelas, cada una de las cuales contiene un solo punto de una curva plana denominada directriz del cilíndro. Cada una de las rectas paralelas se denominan generatriz.

A=ALateral+2ABase=2?r(h+r)

CONOS
Un cono es un cuerpo de revolución, es decir, es un cuerpo geométrico que se obtiene al girar una figura plana alrededor de una recta (eje de giro).
Se obtiene al girar un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos. Su desarrollo plano consta de un círculo (base) y un sector circular.

$176_{2}.jpg$
A=ALateral+ABase=?r(g+r)

ESFERAS

La esfera, al igual que los conos y los cilindros, son cuerpos de revolución.
Se obtiene al girar un semicírculo alrededor de su diámetro. La esfera no tiene desarrollo plano.

$177_{2}.jpg$
A=4?r2
EJERCICIOS

1. Calcula el área de un prisma hexagonal regular de arista básica 8 cm y altura 10 cm.

2. Calcula el área total de una pirámide hexagonal regular con arista básica 6 cm y apotema de sus caras laterales 12.

3.¿Qué altura tiene un cilindro de área lateral 75,36 cm cuadrados y radio de la base 4 cm?
Solución:

4. En una naranja de 15 cm de diámetro,¿Qué área de cáscara le corresponde a cada uno de sus 12 gajos?.
Solución:

5. Calcula el volumen de un prisma hexagonal regular cuya arista de la base es 3 cm y la altura 4 cm. Halla a su vez el volumen del cilindro circunscrito en el prisma anterior.

6. Halla el volumen comprendido entre un cubo de arista 10 cm y el cono inscrito en él.

7. Si el volumen de una esfera es 22 dm cuadrados, ¿cuál es su radio?

8. La pirámide de Kefrén tiene las medidaas que se reflejan en la figura.
Halla la altura de la pirámide .

9. Un cubo y una esfera tienen el mismo volumen, 125 cm cúbicos. ¿Cuál tiene menor área?. Si tuvieras que construir un depósito cúbico o esférico,¿En qué forma se necesita menos material?

10. La Géode es un gigantesco cine con forma de esfera. Calcula su área sabiendo que su volumen es de 24.416.640 dm cúbicos.

Dejamos acá links de interés para consolidar lo aprendido:

http://geometria3a.wikispaces.com/FIGURAS+3D

http://www.vitutor.com/geo/esp/areas_volumenes.html

http://www.profesorenlinea.cl/geometria/cuerposgeoAreaVolum.htm
Tema 8
Plano Cartesiano y medida de ángulos

El plano cartesiano está formado por dos rectas numéricas perpendiculares, una horizontal y otra vertical que se cortan en un punto. La recta horizontal es llamada eje de las abscisas o de las equis (x), y la vertical, eje de las ordenadas o de las yes, (y); el punto donde se cortan recibe el nombre de origen.

El plano cartesiano tiene como finalidad describir la posición de puntos, los cuales se representan por sus coordenadas o pares ordenados.

Las coordenadas se forman asociando un valor del eje de las equis a uno de las yes, respectivamente, esto indica que un punto (P) se puede ubicar en el plano cartesiano tomando como base sus coordenadas, lo cual se representa como:

P (x, y)

Para localizar puntos en el plano cartesiano se debe llevar a cabo el siguiente procedimiento:

1. Para localizar la abscisa o valor de x, se cuentan las unidades correspondientes hacia la derecha si son positivas o hacia la izquierda si son negativas, a partir del punto de origen, en este caso el cero.

2. Desde donde se localiza el valor de x, se cuentan las unidades correspondientes (en el eje de las ordenadas) hacia arriba si son positivas o hacia abajo, si son negativas y de esta forma se localiza cualquier punto dadas ambas coordenadas.

Ejemplo:

Localizar el punto A (-4, 5) en el plano cartesiano.

El punto A se ubica 4 lugares hacia la izquierda en la abcisa (x) y 5 lugares hacia arriba en ordenada (y).

De modo inverso, este procedimiento también se emplea cuando se requiere determinar las coordenadas de cualquier punto que esté en el plano cartesiano.

Ejemplo:

Determinar las coordenadas del punto M.

Las coordenadas del punto M son (3,-5).

De lo anterior se concluye que:
Para determinar las coordenadas de un punto o localizarlo en el plano cartesiano, se encuentran unidades correspondientes en el eje de las x hacia la derecha o hacia la izquierda y luego las unidades del eje de las y hacia arriba o hacia abajo, según sean positivas o negativas, respectivamente.

Con respecto al tema puedes consultar aca

http://www.skoool.es/content/los/maths/cartesian/launch.html

http://www.edilatex.com/index_archivos/algebra5tintas.pdf

Medida de ángulos

¿Cómo medir ángulos?
Desde la Antigüedad, astrónomos y navegantes tuvieron la necesidad de medir ángulos para localizar las estrellas en el cielo y orientarse según su posición.

En la actualidad, a través de algunos instrumentos modernos, se pueden calcular distancias (inaccesibles para medirlas en forma directa) a partir de la medición de ángulos.

Goniometro
Sextante
Teodolito antiguo
Teodolito moderno

¿Para qué se miden los ángulos? ¿Cómo se miden? ¿Con qué instrumentos? A través de este recurso encontrarás algunas respuestas a estos interrogantes que ampliarán lo que ya sabés sobre el tema.

Vamos a recorrerlo...

Medir un ángulo es compararlo con otro que se toma como unidad. La unidad que se usa con más frecuencia es el grado, que es la unidad de medida angular del sistema sexagesimal.

Un grado:

Se usa un pequeño círculo ° después del número para indicar grados.
Por ejemplo 90° significa 90 grados

Grado sexagesimal es la amplitud del ángulo resultante de dividir la circunferencia en 360 partes iguales.
- 1º = 60' = 3600'' (un grado equivale a 60 minutos y a 3600 segundos)
- 1' = 60'' (un minuto equivale a 60 segundos)
¿A qué otro sistema de medición que conoces se parece?

El sistema de medición de ángulos que tiene como unidad 1 grado no es decimal. Se parece al que se usa para medir el tiempo en horas, minutos y segundos. Ambos sistemas dividen la unidad en 60 subunidades y por eso reciben el nombre de sexagesimales. Así como una hora se divide en 60 minutos y 1 minuto en 60 segundos, un ángulo de 1 grado se divide en 60 ángulos de 1 minuto y un ángulo de 1 minuto, en 60 ángulos de 1 segundo.

Estas divisiones hay que imaginárselas porque si un ángulo de 1 grado es tan pequeño que no se lo puede dibujar, ¡pensá cómo es de pequeño un ángulo de 1 minuto que es 1/60 de 1 grado! Y qué decir de un ángulo de 1 segundo, o sea 1/60 de 1 minuto o bien 1/360 de 1 grado.

La notación que se usa para expresar grados, minutos y segundos es convencional. Por ejemplo, la medida del ángulo que debe girar una nave se puede escribir: 3º 32' 20" NE y se lee "3 grados, 32 minutos, 20 segundos en dirección Noreste".

Si bien en la escuela no usamos estas subunidades, los astrónomos y los agrimensores las usan en su trabajo y te viene bien saber de qué se trata.

Otro ejemplo interesante del uso del sistema sexagesimal de medición de ángulos es la localización geográfica de un lugar en la superficie de la Tierra. La ciudad de Montevideo, por ejemplo, está localizada a 34° 54' 29" de latitud Sur y 56º 12' 29" de longitud Oeste. En el caso de la latitud, el vértice de cada ángulo que se considera está ubicado en el centro de la Tierra; en cambio la longitud corresponde al ángulo que forman dos meridianos.

El instrumento para medir un ángulo en grados sexagesimales se denomina transportador:

Es un medio círculo graduado con doble escala, una de 0º a 180º y la otra de 180º a 0º.

Para medir un ángulo, se coloca el punto central del transportador sobre el vértice del ángulo y uno de los lados debe coincidir con la línea del cero.

Links de interés con respecto al tema tratado:

http://www.profesorenlinea.cl/geometria/Plano_Cartesiano.html

http://www.slideshare.net/oscareabadia/plano-cartesiano-16323565
Tema 9

Ángulos y tipos de ángulos según sus medidas

Ángulos y su clasificación

Un ángulo es una figura geométrica formada en una superficie por dos líneas que parten de un mismo punto.

También podemos decir que un ángulo es la abertura formada por dos rayos llamados lados, que tienen un origen común llamado vértice.

El ángulo se anota:
Dos rectas con un origen común determinan siempre dos porciones del plano y por tanto dos ángulos œ, ß.
Al ángulo ß se le llama ángulo convexo, mientras que el ángulo œ es cóncavo.

Clasificación de los ángulos

Los ángulos pueden clasificarse según su medida en cinco tipos:

Ángulo recto: es aquel cuya medida es de 90°

œ = 90°

Ángulo agudo: es aquel cuya medida es menor que 90°
œ = < 90°

Ángulo extendido: es aquel cuya medida es de 180°
œ = 180°

Ángulo obtuso: es aquel cuya medida es mayor que 90° y menor que 180°
90°< œ < 180º

Ángulo completo: es aquel cuya medida es de 360°

œ = 360°

Ángulos y rectas

Relaciones entre parejas de ángulos

En casi todas las figuras geométricas donde intervengan rectas aparecen ángulos, los cuales es posible relacionar en cuanto a sus dimensiones y a su posición en el plano.

Así, dos ángulos pueden ser entre sí complementarios, suplementarios o adyacentes.

Dos ángulos son complementarios si la suma de sus medidas es 90°

œ, ß son complementarios

œ + ß = 90°

Dos ángulos son suplementarios si la suma de sus medidas es 180°

œ, ß son suplementarios

œ + ß = 180°

Dos ángulos son adyacentes si tienen un lado en común y los otros dos están en la misma recta.

œ es adyacente con ß, son colineales (están en la misma recta), BD lado común para œ y ß

Los ángulos adyacentes son suplementarios.

Ángulos en un triágulo

Los ángulos que se forman en un triángulo se relacionan entre sí cumpliendo con las siguientes propiedades o características:

1.- La suma de los ángulos internos de un triágulo es igual a dos ángulos rectos; es decir, suman 180º.

En la figura, œ + Ý + € = 180º. Recordar que ß = Ý y que ô = € por ser ángulos alternos internos.
2.- La suma de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo es igual a 90º.

En la figura, œ + ß = 90º

3.- En todo triángulo, la medida de un ángulo externo es igual a la suma de las medidas de los ángulos internos no contiguos (opuestos).

En la figura, ß = œ + €
4.- En todo triángulo la medida de un ángulo externo es mayor que la de cualquier ángulo interior no adyacente.

En la figura,

ß > (es mayor que) œ
ß > (es mayor que) €

5.- La suma tres ángulos exteriores de cualquier triángulo vale cuatro ángulos rectos; es decir, suman 360º.

En la figura, œ + ß + Ý = 360º

Acá dejamos un par de links de interés:

http://www.profesorenlinea.cl/geometria/angulosclasificacion.htm

http://www.vitutor.com/geo/eso/el_6.html

Así concluye este capitulo, ahora pon atención a la guía y posterior evaluación que se presenta.
Tema 10

Capitulo final

Este capitulo se crea con fin de conclusión al curso. Se presentará al final de este curso una evaluación final de sintesis que integra todo lo visto anteriormente la que a diferencia de las demás no se resuelve de la misma manera que las anteriores, si bien es cierto trata los temas ya vistos cuentas con una hora para realizarla por lo que supones bien, no es una prueba extensa sino más bien para consolidar lo aprendido, por cierto esperando que tengas el resultado que obtengas sea igual o mejor que el que has obtenido hasta ahora.

La evaluación contemplará los aspectos más importantes del curso, y cualquier comentario que quieras hacer con respecto a la evaluación lo podrás postear en el foro del curso para que así tus demás compañeros comenten y quienes estamos a cargo de la evaluación.
- EVALUACION FINAL Cuestionario
- FORO SOBRE LA EVALUACIÓN FINAL


Goniometro	Sextante	Teodolito antiguo	Teodolito moderno

Diagrama de temas

General

Tema 1

Tema 2

Tema 3

Tema 4

Tema 5

Desarrollo del prisma

Elementos de un prisma

Tipos de prismas

Prismas regulares

Tipos de prismas según su base

Pirámides

Elementos de una pirámide

Clasificación de las pirámides

Pirámide regular

Tronco de pirámide

Tema 6

Cuerpos geométricos curvos: El cono, el cilindro y la esfera

Tema 7

Tema 8

Plano Cartesiano y medida de ángulos

Medida de ángulos

Tema 9

Ángulos y su clasificación

Clasificación de los ángulos

Ángulos y rectas

Relaciones entre parejas de ángulos

Ángulos en un triágulo

Tema 10