Diagrama de temas

  • Descripción del curso y objetivo

    Durante la realización de este curso se trabajará el siguiente objetivo de aprendizaje sacado desde curriculumnacional.cl

    Mostrar que comprenden la función cuadrática f(x)= ax2 + bx + c (a ≠ 0):

    • Reconociendo la función cuadrática f(x) = ax2 en situaciones de la vida diaria y otras asignaturas.
    • Representándola en tablas y gráficos de manera manual y/o con software educativo.
    • Determinando puntos especiales de su gráfica.

    • Introducción

      Para comenzar con este curso de funciones cuadráticas es muy importante repasar el concepto de función. Es por ello que se inicia con la siguiente pregunta:

      ¿Qué es una función?

      Una función es una relación o correspondencia entre dos magnitudes, de manera que a cada valor de la primera le corresponde un único valor de la segunda (o ninguno), que llamamos imagen o transformado.

      A la función se le suele designar por f y a la imagen por f(x). La función tiene 2 variables.

      Como se ha mencionado anteriormente la función cuenta con 2 variables, las cuales son variable independiente y variable dependiente. A estas les otorgaremos la siguiente definición:

      Variable Independiente: Es aquella que no se ve afectada, por tanto, no variará durante toda la experimentación. En otras palabras, si le otorgamos un "valor numérico" esta no se ve afectada.

      Variable Dependiente: La que se deduce de la variable independiente. En otras palabras, es aquella que su resultado se ve afectada si le asignamos un "valor numérico" a la variable independiente.

      Cada variable la definiremos con la letra "x" e "y" respectivamente.

      Por ejemplo:

      Las funciones son como máquinas a las que se les introduce un elemento x y devuelven otro valor y, que también se designa por f(x).

      Por ejemplo, la función f(x) = 3x + 1 es la que a cada número le asigna el cuadrado del número multiplicado por 3 y luego sumado 1.

      Así f(2) =  3*2 + 1 = 6 + 1 = 7

      La gráfica queda como:

      Gráfica función f(x)=3x+1


      Algunas utilidades que tienen las funciones en la vida cotidiana:

      basket salto

      deporte construcción

      A continuación, se dejará un link con un video sobre utilidades de las funciones en la vida cotidiana:

      http://youtube.com/watch?v=mjP3mfBY2GE&ab_channel=LeidyHerazoBarbosa

    • Función cuadrática y sus elementos

      Durante el transcurso de este tema se irá viendo el concepto de función cuadrática.

      ¿Qué es una función cuadrática?

      En otras palabras, una función cuadrática es una función que en la que uno de los elementos lleva un 2 pequeño como índice superior. En otras palabras, una función cuadrática es una función que en la que uno de los elementos lleva un 2 pequeño como índice superior.

      Forma general de la función gráfica:

      f(x)=ax2+bx+c

      o también

      y=ax2+bx+c

      La representación gráfica de la función es:

       


      Comportamiento de la función:

      En esto haremos énfasis en los elementos de a,c:

      Cuando a es mayor que 0, la parábola estará mirando hacia arriba


      Cuando a es menor que 0 la gráfica estará mirando hacia abajo:


      Cuando c es mayor que 0 la gráfica se traslada hacia arriba:


      Cuando c es menor que 0 la función se traslada hacia abajo:


      A continuación se dejará un link donde podrán encontrar una gráfica de la función cuadrática en la que podrán manipular los elementos a,b,c y ver como se comporta la gráfica con diferentes valores de estas.

      https://www.geogebra.org/m/UUpQCSwc

      Otros elementos que podemos obtener de la función es el eje de simetría y vértice. Estos los definiremos de la siguiente forma:

      Eje de Simetría: Recta vertical que divide a la función en dos curvas simétricas. El valor del eje de simetría coincide con el valor del primer punto del vértice. Su ecuación es 

      Ejemplo de como calcular este:

      Aquí, a = 1, b = –6, y c = 5.

      Sustituya.

      Simplifique.

      Por lo tanto, el eje de simetría es x = 3.

      Vértice: Coordenada que pertenece a la función e intersecta al eje de simetría. Se puede de dos maneras

      Ejemplo de como calcular Vértice:

      Aquí, a = 3 y b = 12. Así, la coordenada en x del vértice es:

      Sustituyendo en la ecuación original para obtener la coordenada en y , obtenemos:

      y = 3(–2) 2 + 12(–2) – 12

      = –24

      Así, el vértice de la parábola está en ( – 2, – 24).

      Nota: Para representar el vértice solo basta con marcar la coordenada resultante.

      Recorrido de la función:

      Las funciones cuadráticas generalmente tienen la recta real de enteros como su dominio: cualquier x es una entrada legítima. El rango esta restringido a esos puntos mayores que o iguales a la coordenada en y del vértice (o menores que o iguales a, dependiendo si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo). Esto quedará más claro en el próximo tema, ya que implica una parte de la fórmula general para calcular las raíces. 

      A continuación se dejará un link en donde se mostrará un análisis del comportamiento de la función cuadrática.

      https://www.youtube.com/watch?v=m21M7yL6j6I&ab_channel=ProfeLeticiaMujica

    • Cálculo de las raíces y sus propiedades

      Daremos inicio al tema con la siguiente pregunta

      ¿Qué son las raíces de una función cuadrática?

      Son las coordenadas de la función que intersectan la curva con el eje x: (x_1, 0) y (x_2, 0) . Para encontrarlas se utiliza la siguiente fórmula:


      Ejemplo de como calcular las raíces:





      Así su representación gráfica queda como


      La expresión b²-4ac corresponde al discriminante y su valor indica si la función tiene una, dos o ninguna solución.

      f(x)=-2x2+4x+4

      a= -2, b=4 y c=4

      Se tiene que b²-4ac=4²-4*-2*4=48

      Como 48>0 se obtienen 2 soluciones reales.

      Propiedades de la suma y multiplicación de raíces.


      Ejemplo de como aplicar las propiedades mencionadas

      Se tiene la ecuación f(x)=-2x2+6x+36

      Se hace f(x)=0 y se procede a encontrar las raíces de x

       

      Aplicando fórmula y encontrando sus raíces queda:


      Aplicando las propiedades


      A continuación se dejará un link en donde se puede ver el ejemplo y un poco más sobre las propiedades de la suma y multiplicación. También se encuentra un lápiz que podrán pinchar si desean resolver un ejercicio de este tipo.

      http://recursostic.educacion.es/secundaria/edad/3esomatematicas/3quincena3/3quincena3_contenidos_3e.htm

      Link de calculadora funciones cuadráticas: https://www.mathepower.com/es/funciones_cuadraticas.php

      Geogebra donde se puede manipular la función cuadrática para ver sus vértices y puntos de corte: https://www.geogebra.org/m/D4VgFKRW

      Video de cálculo propiedades suma y multiplicación de raíces función cuadrática: https://www.youtube.com/watch?v=GOcOi8vpn3Q&ab_channel=Pi-ensaMatematik

    • Evaluación Final Curso