Diagrama de temas

  • Presentación del curso

    El objetivo de este curso es que las personas que accedan a el adquieran conocimientos acerca de la historia y desarrollo de temas que son estudiados (en su mayoría) entre la educación básica, media y los inicios de la educación superior. Se busca que logren comprender como nacieron los conceptos, como se fueron ordenando poco a poco y como llegaron a tener la forma que tienen hoy en día, con el objetivo de que observen con sus propios ojos que la matemática no siempre fue la disciplina rígida que se imparte en el sistema educativo, sino que en realidad se requirieron de miles de años, intentos fallidos y persistencia para llegar a disponer de este orden que posee la matemática.

    La motivación para realizar este curso es quitar el miedo y la ansiedad que provoca enfrentarse a una estructura lógica rígida que impone la matemática actual, buscando que, al conocer la historia, los estudiantes se percaten de algo lindo que tiene la matemática, que es la experimentación: suponer, hipotetizar, poner a prueba, equivocarse, volver a intentarlo y encontrar conclusiones interesantes.

    A continuación, se deja una presentación en Genially para presentar de forma más interactiva el curso:


  • El nacimiento de los números

    Resulta mucho más fácil utilizar números que definir qué es lo que son realmente. Los números sirven para contar cosas, pero no son cosas. Por ejemplo, se pueden tomar dos vasos, pero nunca podremos tocar al número dos. Utilizamos símbolos para representar a los números, pero un número no es su símbolo. Es más, diferentes culturas tienen diferentes tipos de símbolos para representar el mismo número. En definitiva, los números son abstractos, una construcción mental.            

                Varios símbolos de diferentes culturas para representar al mismo número.

    Nuestro sistema de símbolos, aquel al que estamos acostumbrados, nació hace apenas unos 1500 años. Pueden parecer muchos años, pero en comparación con la historia humana, es un número pequeño. Es más, la extensión a los números decimales no tiene más de 450 años.

    Antes de que se inventara la escritura y los símbolos para representar ideas abstractas, se utilizaban materiales concretos para contar. Podían ser conos, esferas, tener formas de huevo, discos, pirámides. Dichas fichas constituían a productos básicos de aquella época. Las fichas mas antiguas datan del 8.000 A.e.c. y se utilizaron comúnmente durante 5000 años

                     Cifras básicas sumerias

    A medida que el tiempo avanzaba, cada vez se hicieron fichas más elaboradas. Estos objetos comenzaron a representar más que artificios de contabilidad, fueron un paso vital hacia los símbolos numerales. Las fichas se utilizaban para llevar registros, no se sabe bien con que fines. El gran inconveniente era que las fichas se podían falsificar. Por lo tanto, comenzaron a guardarlos en recipientes de arcilla y bastaba con romperlos para ver el contenido. Pero esto no era muy eficaz, por lo que la gente de Mesopotamia comenzó a inscribir símbolos en el recipiente. Luego, en algún momento, se dieron cuenta que ya no necesitaban los contenidos ni romper las vasijas, solo debían ver los símbolos. Es posible que la sustitución de fichas por símbolos fuera un paso inicial para el nacimiento de la escritura.

    Si bien dichas marcas no son los ejemplos mas antiguos de escritura numeral, todos los ejemplos anteriores eran sólo rayas. De hecho, las marcas mas antiguas conocidas de este tipo, corresponden a 29 muescas en un hueso, y tiene unos 37.000 años.

                     
    Otro hueso casi igual de antiguo encontrado en Checoslovaquia tiene 57 marcas, las cuales parecen deliberadas y debieron hacerse con algún motivo. No se sabe cual es, pero se conjetura que tiene que ver con dos ciclos de la luna. Este tipo de marcas, con rayas, se siguen utilizando hoy, en grupos de 5 con el quinto trazo cruzando de manera diagonal a los restantes, por ejemplo, para realizar conteos en votaciones.
                               Votaciones en Chile 2020

    En Mesopotamia, se dio paso desde primitivos símbolos escritos en arcilla a pictogramas, los cuales posteriormente se simplificaron y dieron paso a marcas en forma de cuña. Hacia el 3000 A.e.c. los sumerios desarrollaron una forma elaborada de escritura, la cual ahora llamamos cuneiforme. Los babilonios, en la zona de Mesopotamia, tenían un amplio dominio en matemáticas y astronomía. Desarrollaron un simbolismo sistemático y sofisticado con el que obtenían datos muy precisos. Su sistema de numeración era sexagesimal, de base 60, es decir, el valor de un símbolo puede ser un número, o 60 veces dicho número. Esto se sigue utilizando hasta nuestros días, puedes observarlo en el siguiente video.

                      
    También utilizaron el mismo truco que utilizamos para designar decimales. Nosotros usamos una coma, los estudiosos denotan al equivalente babilónico por un punto y coma. Esta es una coma sexagesimal, donde los numerales a su derecha son múltiplos de 1/60, etc.
    ¿Quieres conocer un poco más del sistema numérico usado por los babilonios? Utiliza esta interesante actividad para conocer como funcionaba su escritura y como se relacionan con los números que utilizamos hoy
             https://museo.inf.upv.es/blog/2021/05/14/el-sistema-babilonico/

    Para profundizar en estos temas, puedes ver este video. No te preocupes, los temas que se hablan allí serán vistos con mayor profundidad en las siguientes secciones del curso.

                   
    • Una incipiente geometría

      La civilización griega es reconocida por ser una de las culturas fundacionales del estilo de vida occidental. ¿Veían la matemática igual que nosotros? Te invito a que veas el siguiente video que habla acerca de los inicios de la geometría! 




      ¿Quedaste con ganas de más?Para profundizar en lo hablado durante el video, te invito a que veas la siguiente información complementaria:
       
      Demostración geométrica de que raíz de 2 es irracional:

      Los elementos de Euclides

      El gran Arquímedes y sus contribuciones tanto a la matemática como a la física
    • Los símbolos que representan a nuestros números

      Bajo cada audio podrás encontrar imágenes o videos asociados a estos. 

        
       

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      En el siguiente video podrás encontrar más información acerca de los símbolos que han representado a los números en diversas culturas:

      • Al-Jabr: Nacimiento y desarrollo del álgebra

        ¿Qué es el álgebra? Hablando a un nivel escolar, es una rama de la matemática donde a los números desconocidos se les asigna una letra, las operaciones aritméticas se representa mediante símbolos y el objetivo es deducir los valores de los números desconocidos por medio de ecuaciones. Varios textos de la antigüedad hablan sobre una cantidad desconocida para luego calcular su valor. ¿Cómo pasó la humanidad de aquellos problemas al álgebra actual? ¿Fueron primeros los símbolos o los métodos? ¿Siempre fue la ‘x’ la incógnita favorita de todos los matemáticos?


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        Existe evidencia, aunque no de fuentes directas, de que los babilonios ya resolvían ecuaciones complicadas en el año 2000 antes de la era común. La evidencia directa de problemas más sencillos data de 1700 años antes de la era común. Esta información viene en la forma de tablillas cuneiformes, como por ejemplo la tablilla YBC 4625, la cual tiene 11 problemas para resolver (originalmente eran 22). Un ejemplo de estos problemas es:


        «Encontré una piedra, pero no la pesé. Después pesé 6 veces su peso, añadí 2 gin y añadí un tercio de un séptimo multiplicado por 24. Lo pesé. El resultado era 1 mana. ¿Cuál era el peso original de la piedra?» Donde un peso de 1 mana son 60 gin.


        Existe otra tablilla babilónica, BM 13901, en la cual se enuncia una forma estándar para encontrar el valor de una incógnita, pero ahora en el contexto de ecuaciones cuadráticas. Es decir, sin tener simbología para las operaciones, los babilónicos encontraron la forma de dar soluciones a ecuaciones cuadráticas. Sin embargo, la tablilla entrega la receta de lo que debe hacer la persona, pero sin entender por qué funciona dicho método. Resulta muy probable que su forma de resolución fuese geométrica.


        La palabra álgebra procede del árabe “Al-jabr”, un termino utilizado por el famoso Al-Khwarizmi, que comenzó a extender su uso en el año 820. En su obra explicaba métodos generales para resolver ecuaciones manipulando cantidades desconocidas. Este matemático antiguo utilizaba palabras para explicar sus métodos, no símbolos, pero dichos métodos son muy parecidos a los que se utilizan hoy en día. ¿Qué significa Al-jabr? Sumar cantidades iguales a ambos miembros de una ecuación.



        Los babilonios sabían resolver ecuaciones cuadráticas con métodos que, en esencia, son similares a los que ocupamos hoy. El siguiente paso de los matemáticos consistió en resolver ecuaciones cúbicas. Hasta el desarrollo de los números negativos, los matemáticos clasificaban a las ecuaciones cúbicas en diversos tipos, donde sólo cambiar el signo de un coeficiente ya implicaba utilizar distintos métodos para cada una de las ecuaciones.


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        Los griegos utilizaban secciones cónicas para la resolución de algunas ecuaciones cúbicas, sin conocer como algo general el hecho de que al intersectar dos cónicas, los puntos de intersección están determinadas par ecuaciones de tercer o cuarto grado. Alguien que potencio esta línea de acción fue Omar Khayyam, quien alrededor del 1075 clasifico a las ecuaciones cúbicas en 14 tipos, demostrando como resolver cada una de ellas utilizando cónicas.


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        Las soluciones utilizando cónicas funcionaban bien, pero los matemáticos italianos del renacimiento se preguntaron si es que podían existir soluciones algebraicas para las ecuaciones cúbicas. Así, ocurrió una de las competencias matemáticas mas renombradas de la historia:



        Si bien los matemáticos italianos renacentistas inventaron muchos métodos geniales, su notación dejaba mucho que desear. Se requirieron de cientos de años para llegar a la notación que conocemos actualmente. Diofanto de Alejandría, alrededor del 250, utilizaba símbolos para designar números desconocidos. Como se puede apreciar en la imagen, sus símbolos diferían de manera notable a los nuestros.


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        El primero de los algebristas que comenzaron a utilizar símbolos fue François Vieta, quien enunciaba algunos resultados de forma simbólica, pero que diferían mucho de la notación actual. El utilizaba consonantes mayúsculas para representar cantidades conocidas, mientras que las vocales mayúsculas eran utilizadas para representar incógnitas.


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        Los símbolos + y – aparecieron alrededor del siglo XV, gracias a comerciantes alemanes que buscaban distinguir artículos por exceso y por defecto. En 1557, Robert Recordé inventó el símbolo = para indicar la igualdad, debido a que, para el, no existían dos cosas mas iguales que dos líneas paralelas. Sin embargo, este signo era más largo de lo habitual, algo como: ===========.

        Se deja unas imágenes para diferenciar como era la matemática antigua comparada con la nuestra, con un extracto del Ars Magna de Cardano:

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        ¿Y el uso de la x como incógnita? El gran René Descartes comenzó a utilizar la x para designar una cantidad desconocida, notación que se extendió rápidamente por Europa y el mundo. Su notación era un poco distinta a la nuestra, pero en pequeñas variaciones, por ejemplo, para denotar al x cuadrado escribía: xx. Newton comenzó a utilizar la notación exponencial tal y como la conocemos nosotros, considerando exponentes racionales, mientras que el maestro Gauss fue quien cambió el uso de xx por x2


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        El álgebra nació como una forma de sistematizar problemas aritméticos, pero con el paso del tiempo, precisamente en la época de Vieta, ya había adquirido vida. Las expresiones algebraicas comenzaron a representar toda una especie de expresiones aritméticas. Una expresión como 2x+y pueden ser operados como un número, pero nunca van a representar sólo a un número en específico. De esta forma el álgebra se emancipó de la aritmética, siguiendo su propio camino en el desarrollo de la matemática.

        Con los siguientes videos tendrás una idea mas completa para le pregunta ¿Para qué sirve el álgebra?

      • Tablas de cálculos: Trigonometría y logaritmos

        La trigonometría es una de las técnicas matemáticas más ampliamente utilizadas, está presente, por ejemplo, en los sistemas de navegación GPS, indispensables para la vida del siglo XXI. Su uso es tan común en las ciencias y la ingeniería que habitualmente pasa desapercibido.


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        Históricamente hablando, la trigonometría se encuentra asociada íntimamente a otra función matemática ingeniosa y que es ampliamente utilizada: los logaritmos. Ambas aplicaciones matemáticas se basaban en tablas numéricas con grandes cantidades de resultados tabulados. Estas tablas volvían útiles a dichas funciones, pues los cálculos resultaban muy tediosos y el ahorro de tiempo que proporcionaban las tablas era considerablemente grande. Los inventores pasaron muchos años de su vida, incluso décadas, construyendo estas tablas. Su aporte a la matemática es tremendamente valorable.


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        El problema básico al cual se enfrenta la trigonometría corresponde al cálculo de propiedades desconocidas de un triángulo del cual se conocen otras propiedades. En la antigüedad los griegos ya se enfrentaban a este tipo de problemas, donde lo que ha cambiado con respecto a nuestros días es principalmente una cuestión de notación.  La trigonometría nace, aparentemente, con la astronomía, ciencia donde las distancias son casi inaccesibles, pero donde resulta relativamente más fácil medir los ángulos.


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        Las primeras tablas trigonométricas se derivaron de Hiparco, aproximadamente en el año 150 antes de la era común. Este personaje hizo una tabla en la cual relaciona arcos y longitudes de cuerda para un cierto rango de ángulos, pero sólo incluía múltiplos de 7,5°. Hiparco es considerado como el padre de la trigonometría.


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        Ptolomeo de Alejandría creó uno de los textos mas importantes de trigonometría en el mundo antiguo. Su “Sintaxis matemática” o “El almagesto” como era conocido por los árabes (y que, dicho sea de paso, significa “el más grande”) incluía tablas trigonométricas, métodos para el cálculo y un catálogo muy completo con las posiciones de estrellas. Este libro sirvió a los astrónomos durante más de mil años.


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        Los primeros conceptos trigonométricos se comienzan a apreciar en los escritos matemáticos y astrónomos de la india, como Varahamihira, Bramhmagupta y Bhaskaracharya. Generalmente utilizaban la semi-cuerda, el cual, en realidad, se corresponde con el seno moderno.


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        Debido a la vinculación con la astronomía, casi toda la trigonometría era esférica hasta 1450. Pero esto comenzó a cambiar debido, inicialmente, a la liga Hanseática alemana, la cual controlaba la mayor parte del comercio. Estos comerciantes necesitaban mejores métodos para la navegación, junto con mejorar el calendario y los usos prácticos de las observaciones astronómicas.


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        Johannes Müller fue una figura clave, pues calculó una nueva tabla de Senos y una de tangentes. Otros matemáticos entre los siglos XV y XVI emprendieron la aventura de calcular sus propias tablas trigonométricas. Algunas de estas tablas tenían precisión de hasta 15 cifras decimales. Vieta realizó varios escritos sobre trigonometría, donde recogió y sistematizó varios de los métodos conocidos para “resolver triángulos”. Además, inventó varias identidades trigonométricas nuevas.


        Los logaritmos, por su parte, eran importantes debido a que cumplen con una propiedad donde se puede transformar multiplicaciones en sumas. Desde el siglo XVII casi todos los cálculos científicos, principalmente los referentes a la astronomía, utilizaban logaritmos.



        Históricamente hablando, el descubrimiento de los logaritmos comienza con John Napier, quien buscaba métodos eficaces de cálculo e inventó lo que se conocen hoy como las “varas de Napier”, que era un conjunto de palos con marcas que se podían utilizar para realizar multiplicaciones de manera más sencilla. Posteriormente se dedicó a trabajar en un método mas teórico, el cual le costaría 20 años.


        En el siguiente link encontrarás una explicación de como utilizar varas de Napier:

        https://eloviparo.wordpress.com/2009/03/19/las-varillas-de-napier-abaco-de-napier/


        James Craig le contó a Napier del descubrimiento que era ampliamente utilizado en Dinamarca, llamado Prostaféresis. Se refería a cualquier proceso donde se pueden transformar los productos, en suma. Este método se basaba en una formula descubierta por Vieta, y que requería de una tabla de senos y cosenos.


        Los siguientes links tienen información para comprender mejor la prostaféresis. El primero cuenta con un ejemplo de este algoritmo, mientras que el segundo cuenta con más información acerca de la historia y el desarrollo de este:

        http://joselorlop.blogspot.com/2018/01/700-la-prostaferesis-resolucion_17.html

        https://es.wikipedia.org/wiki/Prostaf%C3%A9resis


        Napier extrajo la idea y la mejoró: Formó una serie geométrica donde la razón era muy próxima a 1. Por algún motivo, escogió una razón ligeramente menor que 1: 0,99999999. La ecuación que encontró Napier se puede utilizar para el cálculo, pero no es elegante. Luego, Henry Briggs sugirió que se reemplazara el concepto de Napier por uno más simple, el logaritmo con base 10. Calculó una tabla con logaritmos en dicha base, donde en 1617, con su Logarithmorum Chilias Prima y en 1624 con su Arithmetic Logarithmica tabulaba logaritmos con hasta 14 cifras decimales.


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        El famoso número de Euler, o también conocido como la constante de Napier, aparece si se trata de formar una serie geométrica cuya razón es ligeramente mayor que 1. Esta fórmula sugiere que existe una base “natural” para los logaritmos: e. El número ‘e’ es de esos números extraños y especiales que aparecen en la matemática y que tienen una gran trascendencia en el desarrollo de esta.



        Los esfuerzos de aquellos matemáticos que pasaron años de su vida calculando las primeras tablas de funciones trigonométricas y logarítmicas fueron fundamentales para allanar el camino hacia una compresión científica cuantitativa del mundo natural. Los viajes y el comercio fueron cada vez más factibles debido a las mejoras en la navegación y en la cartografía.


        Para finalizar, te dejo un interesante video que explica cómo funciona la mente de forma logarítmica:

        • ¿Y el plano cartesiano?

          El siguiente video muestra una pequeña historia de como se gestaron las ideas para cimentar las bases de lo que hoy conocemos como "Geometría analítica". ¿Dónde está presente el plano cartesiano? En el video obtendrás la respuesta! 

          Además, te dejo dos actividades en geogebra. En la primera podrás manipular puntos en el plano y crear rectas entre ellos:

          https://www.geogebra.org/m/Wk7Y7N6V

          Mientras que en la segunda accederás a un juego de Batalla naval, donde aprenderás a determinar las coordenadas de un punto en el plano:

          https://www.geogebra.org/m/Kf2RGDwc

          • Números... ¿Imaginarios?

            Revisa la siguiente presentación que tiene una breve historia de como se fue dando la relación entre los matemáticos y los números imaginarios a lo largo de la historia:

          • Ahora, llegó el momento de evaluarse

            En esta última sección del curso se presenta una evaluación con distintos tipos de pregunta que pondrán a prueba los conocimientos adquiridos a lo largo de los temas. ÉXITO.