LA MECANICA DE CHOQUES APLICADA AL BILLAR


Las ecuaciones generales que modelizan un choque entre dos cuerpos arbitrarios, teniendo en cuenta la elasticidad y el frotamiento entre los cuerpos durante el choque, se discuten más abajo.

Notación:

C, WC: punto de choque entre los dos cuerpos, y vector velocidad del cuerpo 1.
G, M: centro de gravedad y masa del cuerpo 1
I, R: momento de inercia alrededor del eje central del cuerpo 1, y radio del cuerpo
1 (para un cuerpo esférico y homogéneo I = 2/5MR2 )
P: vector de impulso sobre C por el cuerpo 2
Q: energía cinética del sistema formada por los dos cuerpos
x*: vector unitario, normal al plano tangente de C and dirigida hacia el interior del cuerpo 1
W, W*: vectores de velocidad de traslación y velocidad angular del cuerpo 1
': índice relativo al cuerpo 2
a, i: índices relativos a los instantes inmediatamente anterior y posterior al choque
fi, N: coeficientes de frotamiento y elasticidad entre los dos cuerpos
e: porcentaje de energía cinética perdida durante el choque
v1.v2 y v1xv2: producto escalar y producto vector de los dos vectores v1 y v2.
v1xv1 = 0
producto mixto: (v1 x v2).v3 = (v2xv3).v1
producto vector doble: v1x(v2xv3) = (v1.v3) v2 - (v1.v2) v3
||v1||: norma del vector v1, tal que ||v1||2 = v1.v1

Ecuaciones y resultados:

Las leyes estándares de la mecánica de choques puede ser escrita:

Conservación del momento lineal:

M Wi = M Wa + P
M' W'i = M' W'a + (-P)

donde habrá que determinar los vectores Wi and W'i.
Conservación del momento angular:

I W*i = I W*a + GC x P
I' W*'i = I' W*'a + G'C x (-P)

donde habrá que determinar los vectores W*i and W*'i.

La ley de Coulomb de la fricción:

P = P* (x* - fi WCa/||WCa||)
P* = k M (W'a - Wa) . x*
WCa = (Wa - W'a) - [(Wa - W'a) . x*] x* + x* x (R W*a + R' W*'a)

donde habrá que determinar la constante k.

Ley de Newton de choque de esferas homogéneas:

(Wi - W'i) . x* = - N (Wa - W'a) . x* con N constante.

Teorema de la energia cinética:

Qa - Qi = e Qa donde e no es constante (si N es constante)
Q = (M W2+ I W*2 + M' W'2 + I' W*'2)/2

Tenemos por tanto 5 ecuaciones para 5 incognitas (Wi, W*i, W'i, W*'i, k). La resolución vectorial dada para una sola solución (ecuaciones 1a):
Wi = Wa + (P*/M) (x* - fi WCa/||WCa||)
W*i = W*a + (5/2R) fi (P*/M) x*xWCa/||WCa||
W'i = W'a + (M/M') (Wa - Wi)
W*'i = W*'a - (M/M') (R/R') (W*a - W*i)
k = (1 + N)/(1 + M/M')

También podemos deducir que:

Wi . x* = k W'a . x* + (1 - k) Wa . x*
W'i . x* = (k M/M') Wa . x* + (1 - k M/M') W'a . x*
WCi = u WCa con (donde) u = 1 - (7/2) fi (1 + M/M') (P*/M)/||WCa||
e (1 + M/M') = (1 - N2) (1/2) M [(W'a - Wa) . x* ) ]2/Qa , cuando fi es insignificante.

Última modificación: Thursday, 7 de June de 2018, 07:40