Factorizacion de Expreciones Algebraicas

Factorización de Expresiones Algebraicas

Objetivos: Al terminar esta lección podrás expresar polinomios y otras expresiones algebraicas como el producto de otras expresiones más sencillas.

Cuando multiplicamos dos expresiones conseguimos, generalmente, una expresión más complicada bien sea porque tiene más términos o porque el grado de los términos es mayor.

La factorización es el proceso por el cual expresamos una expresión como producto de dos o más factores. La factorización deshace lo que la multiplicación hace, convirtiendo una expresión que podría ser complicada, en el producto de dos o más expresiones (factores) que son típicamente más sencillas.

Por ejemplo, si multiplicamos 2x ( + 5)(x + 3) conseguimos 2x 2 +11x + 15, lo cual tiene más términos que cualquiera de los dos factores que multiplicamos y es de mayor grado (2) que ambos factores (que son de grado 1). En este caso decimos que 2x 2 +11x + 15 puede ser factorizado como (2x + 5)(x + 3).

La factorización será útil para simplificar algunas expresiones como la suma de fracciones y la división de polinomios. También puede usarse para determinar las soluciones de una ecuación.

Identificación del factor común:

Usamos la propiedad distributiva para realizar la multiplicación de una suma (o resta) de términos
por un factor. Por ejemplo (3 + x)y = 3y + xy . Podemos igualmente usar esta propiedad para
deshacer esta multiplicación. Esto requiere que identifiquemos el factor que es común a todos
los términos en la expresión. En la expresión 3y + xy ,y es el factor común. Por lo tanto nuestra
factorización será 3y + xy = (3 + x)y , ó, equivalentemente, 3y + xy = y(3 + x).
Generalmente conviene factorizar el factor común ?máximo? posible. Por ejemplo, en el polinomio
12x 3y2 - 9x 2y3 + 15xy4 podemos identificar como factor común a todos los términos, varios monomios:
xy es factor común porque
12x 3y2 = 12x 2y × xy
-9x 2y3 = -9xy2 × xy
15xy4 = 15y3 × xy
3xy es factor común porque
12x 3y2 = 4x 2y ×3xy
-9x 2y3 = -3xy 2 ×3xy
15xy4 = 5y3 × 3xy
Similarmente podemos establecer que 3xy2 también es factor común.
Factorización de expresiones algebraicas
Preferimos factorizar el factor común máximo (FCM) de los términos, el cual puede hallarse de la siguiente manera:
Primero: Factorizamos completamente los términos. Esto significa que los factores obtenidos son primos (que no pueden ser factorizados más).
Segundo: El FCM es el producto de todos los factores presentes en las factorizaciones del paso previo, elevados a la menor potencia en que aparecen, la cual es la potencia 0 si hay una factorización en la que el factor no aparezca.
Ejemplos:
1) Para hallar el FCM de 15a3b5c6, 25ab2c2 , 10a2b{ 4c3}:
Primero: Factorizar los términos:
15a3b5c6 = 3 ×5 × a3 × b5 ×c6
25ab2c2 = 52a × b2 × c2
10a2b4c3 = 2 ×5 ×a2 ×b4

Segundo: Formar el FCM. Los factores presentes son 2, 3, 5, a, b, & c. La
menor potencia de 2 que aparece es 20 (pues el 2 no aparece en
todas las factorizaciones), la de 5 es 51, la de 3 es 30, la de a es
a1, la de b es b2, y la de c es c3. Entonces el FCM es
20 × 51 ×30 × a1 × b2 × c3 = 5ab2c3 .
2) Si queremos factorizar el polinomio 30x3y2 + 12x 2y3z , comenzamos
factorizando completamente sus términos:
30x3y2 = 2 × 3× 5× x 3 × y2
12x 2y3z = 22 ×3× x2 × y3 × z
Luego formamos el FCM: 2 × 3× x 2 × y 2 = 6x 2y2 . Finalmente hacemos la
factorización: 30x3y2 + 12x 2y3z = 6x 2y2 (5x + 2yz).