Área y volumen de cuerpos geométricos

¿Qué es una esfera?

Una esfera cómo sólido de revolución es un cuerpo que se obtiene por la rotación de un círculo respecto a un eje diametral a dicho círculo, esto es, que el eje de rotación coincide con el diámetro del círculo o bien, por un semi-círculo. 

Como cuerpo redondo, se caracteriza por no tener caras planas ni aristas ni vértices, estando compuesta por una única superficie curva denominada casquete esférico, se identifica un punto central en la esfera, desde la cual cada punto del casquete esférico equidista del centro, a una distancia denominada radio de la esfera.

Área de una esfera

Para entender de dónde viene la fórmula para calcular el área de una esfera, te invito a realizar el siguiente experimento

Para el experimento, necesitarás los siguientes instrumentos:
- Una naranja (lo más esférica posible)
- regla (o escuadra)
- Compás
- Lápiz
-papel

Mide la altura de la naranja (que si es lo suficientemente esférica, coincidirá con el diámetro) Luego, en una hoja de papel, traza un segmento que mida la mitad de la altura de la naranja y con ayuda del compás, dibuja 4 círculos utilizando dicho segmento como radio, deberías tener algo así:

Ahora, para pelar la naranja, te recomiendo realizar cortes perpendiculares en la naranja obtener 4 trozos de cascara como los siguientes:

Ahora, con ayuda de unas tijeras, recorta esos trozos de cáscara de naranja para intentar llenar los círculos tal que así:

Como puedes ver, la superficie de la naranja equivale al área de 4 círculos que tienen radio igual al radio de la naranja, por lo tanto, esta es una manera informal de probar, o más bien, visualizar, que el área de una esfera se calcula como:

\( A_{esfera}=4\cdot Área \; de \; círculo = 4 \cdot \pi \cdot r^{2} \)

Volumen de una esfera

Ahora, para comprender de dónde viene la fórmula del volumen de una esfera, te recomiendo ver el siguiente video sobre la comprobación experimental de la relación entre volumen de esfera y cilindro

\( V_{esfera}=\dfrac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^{3} \)

Ejemplos

Calcula el área y volumen de las siguientes esferas:

Su radio mide 4 cm, luego su área será:

\( área:4\pi r^2 \Rightarrow 4\pi(4)^2 = 4 \cdot\pi \cdot 16 = 64 \cdot \pi \, cm^2 \)

\( Volúmen: \dfrac{4}{3} \cdot \pi r^3 \, \Rightarrow \dfrac{4}{3} \cdot \pi  \cdot  (4)^3 =\dfrac{256}{3}\cdot \pi \, cm^3 \)

\( área:4\pi r^2 \Rightarrow 4\pi(12)^2 = 4\cdot\pi \cdot 144 = 576 \cdot \pi \, cm^2 \)

\( Volúmen: \dfrac{4}{3}\pi r^3 \, \Rightarrow \dfrac{4}{3}\cdot \pi \cdot(12)^3 =\dfrac{4}{3} \cdot \pi \cdot1728= 2304 \cdot\pi \, cm^3 \)