Área y volumen de cuerpos geométricos

¿Qué es una pirámide?

La  pirámide  es un poliedro, constituido por un polígono simple (cara basal o base) y triángulos (caras laterales) que tienen un único lado que coincide con uno del polígono base; todos los triángulos tienen un vértice común llamado vértice de la  pirámide. 

Notemos que en una pirámide, hay dos alturas, está la altura inclinada (o altura lateral) y la altura de la pirámide (o altura)

Sobre el área de la pirámide

Tal como con el prisma, el área de una pirámide, estará dado por la suma de las áreas de las caras que lo conforman, pues el área mide la superficie del poliedro. Anteriormente, mientras aprendimos a calcular el área de la base de un prisma regular, vimos cómo calcular el área de un polígono regular. por lo que si no recuerdas cómo hacerlo, te recomiendo que veas de nuevo la sección Área de prismas de base regular. Ahora, recordemos que el área de un triángulo es:

pero... ¿De dónde viene esto? Te invito a ver el siguiente video antes de continuar Área de un triángulo.

Ahora, notemos que una pirámide tendrá tantas caras laterales, como lados tenga su base,

Por lo tanto, el área de una pirámide estará dada por:

\( A=A_{basal}+n\cdot A_{lateral}=A_{basal}+ n\cdot \dfrac{Altura \; Lateral\cdot Lado \; Basal}{2} \)

Teorema de pitágoras

Seguramente ya habrás oído algo sobre este teorema que afirma que "El área del cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo, es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos" o su interpretación más común que dice que "En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos" (a²+b²=c²  con a y b las medidas de los catetos de un triángulo rectángulo y c la medida de la hipotenusa). Pero, ¿Qué tiene que ver este popular teorema con el área de las pirámides? Bueno, uno no siempre tendrá a su disposición todas las medidas de una pirámide, pero pon atención a la siguiente imágen.

Notemos que en una pirámide, siempre podemos encontrar triángulos rectángulos formados por la apotema y la altura de la pirámide (como catetos) y la altura lateral (como hipotenusa).

Ejemplo:

Calcule el área de la siguiente pirámide

área: \( 5\bigg(\dfrac{5\cdot8}{2}\bigg) +5 \bigg(\cdot \dfrac{13\cdot8}{2}\bigg)=100+260=360\, cm^2 \)