Homotecia: concepto y aplicaciones

La homotecia primeramente se realiza a un punto fijo respecto a otro, el cual se conoce como centro de homotecia, al aplicar la transformación resulta en una traslación del punto fijo sobre la recta que conecta dicho punto con el centro, esto lo puedes visualizar en la siguiente figura, donde si mueves el deslizador, podrás notar como se desplaza el punto. 

Si prestas atención, podrás ver que el deslizador "k" tiene un valor numérico asociado, y dicho número no es al azar. Este "k" de ahora en adelante lo conoceremos como constante de proporción o razón de homotecia es aquel número que "decide" donde resultará el punto final tras la homotecia. De hecho, este número corresponde en valor absoluto al factor por el cual se multiplica la distancia desde el punto fijo a el centro, obteniendo así la distancia del centro al punto obtenido, al cual se le conoce como punto homotético. Nuevamente, esto se entiende mejor con un ejemplo dinámico.

Teniendo en cuenta el desplazamiento del punto homotético, ¿Qué relación existe entre el sentido en que se traslada y la constante de proporción?, puedes volver a mover el punto y prestar atención a dicha relación, pues podrás notar que cuando k es positivo, el punto se mueve en el sentido hacia donde se encuentra el punto inicial, mientras que cuando k es negativo, el punto se mueve en sentido opuesto. Recuerda esta observación, pues nos será de muy útil para más adelante.

Podemos pensar también, que entre más grande sea el valor absoluto de la constante de proporción, más alejado estará el punto del centro de homotecia. Además, desde la premisa de que la distancia del centro al punto homotético es igual al producto entre la distancia original y la constante de proporción, ¿Qué pasaría en los casos en que esta no alcanza a ser un entero?, por ejemplo, si k = 1/2, significa que al multiplicar estaríamos tomando la mitad de la distancia original, por lo que la distancia obtenida será mas pequeña que la original. Esto puede parecer obvio en primera instancia, pero esto tendrá distintas consecuencias cuando estudiemos la homotecia aplicada en figuras geométricas.