Homotecia: concepto y aplicaciones

Tal como se mencionó en la sección anterior, una homotecia se puede aplicar a un punto fijo respecto de un centro de homotecia, ahora bien, este proceso se puede realizar simultáneamente a más de un punto para generar otro tipo de figuras. Para ilustrar esto, puedes visualizar el video de a continuación proveniente del canal Arturo Geometría, donde define la homotecia y enseña un método para encontrar los puntos homotéticos dada una razón.

Tal como se menciona en el video, al construir la homotecia de un triángulo (o de cualquier figura), los lados correspondientes resultan ser paralelos. De este modo, se construye una equivalencia de ángulos por las rectas que intersecan a las rectas paralelas Es por ello que afirmamos que la figura homotética resulta semejante a la original, en este caso por criterio de semejanza de triángulos (AA). Es por ello que el autor del video menciona que los lados correspondientes son proporcionales y además menciona que se cumple el Teorema de Tales, el cual se aplica justamente a triángulos semejantes. 

Ahora analicemos esto en la siguiente actividad manipulando los valores de la razón de proporción y moviendo los vértices si así lo deseas:

Similarmente a lo trabajado en la sección anterior, podemos analizar qué sucede con el triángulo a medida que varía el parámetro k, ¿Qué puedes observar de la figura cuando esta constante adopta un valor negativo? ¿Y cuándo adopta un valor entre 0 y 1?, para resumir las respuestas de estas preguntas y las características generales de esta transformación, presentamos a continuación las propiedades de la homotecia.

Propiedades de la homotecia

En base a lo ya mencionado, yodemos concluir que las propiedades de la homotecia se resumen en las siguientes:

1. Los puntos homotéticos están alineados con un tercero llamado centro de la homotecia (O)
2. La relación entre los segmentos definidos por este centro y los puntos transformados y original es una constante denominada razón de homotecia (k)
3. Si   el tamaño de la figura transformada es mayor que el de la original:
   

                  

1. Si   el tamaño de la figura transformada es menor que el de la original:
                
   

2. Si    el tamaño de la figura transformada es menor que el de la original:

                 

1. Si   el tamaño de la figura transformada es mayor que el de la original:

                 

A continuación un video que resume algunas ideas mencionadas e ilustra el cambio de la figura homotética dependiendo del valor de k.

Para visualizar más fácilmente lo abordado durante la sección, visitar la actividad dinámica de GeoGebra del autor Albert Alpízar.

En síntesis, podemos clasificar las homotecias por el sentido y ubicación de la figura homotética:

• Si la figura homotética está del mismo lado que la figura original respecto al centro y derecha, entonces es una homotecia directa.
• Si la figura homotética está del lado opuesto que la figura original respecto al centro y volteada, entonces es una homotecia inversa o indirecta.

Y también podemos clasificarlas según el tamaño de la figura resultante:

• Si la figura homotética es más grande que la original, entonces es una homotecia de ampliación.
• Si la figura homotética es más pequeña que la original, entonces es una homotecia de reducción.