HISTORIA DE LOS CUADRADOS MÁGICOS
El origen de los cuadrados mágicos es nebuloso, y aparecen en todas las épocas y culturas. Los sacerdotes egipcios los empleaban para predecir el futuro, y en China, en el año 2200 aC. el emperador Shu vio el cuadrado mágico de 3x3 en el caparazón de una tortuga en el río Lo.
El primer texto conocido en que se muestra un cuadrado mágico, es un manuscrito árabe del Siglo VIII. El cuadrado mostrado es de 3x3, y el autor se lo atribuye a Apolonio de Tiana, (Tiana, Capadocia) del año 3dC, que fue un filósofo, matemático y místico griego de la escuela pitagórica.
El mismo cuadrado de orden 3 aparece nuevamente en un trabajo del judío Jehuda Ibn Esra, (Ibraim de Sevilla) del Siglo XII.
Parece ser que los cuadrados mágicos fueron introducidos en Europa por el gramático bizantino Moschopoulos, que vivió durante el reinado de Andronicus II Palaeologus (1282–1328). Se ha encontrado un manuscrito suyo en el que hay varios cuadrados de orden 4n y otros de orden impar, dando un procedimiento general para construirlos. Hay además un cuadrado de orden 6 sin aportar el método por el cual lo obtuvo.
Cornelius Agrippa, de Colonia (Köln en Alemania), fue médico, filósofo y diplomático. Practicó y estudió las grandes ciencias herméticas: la magia, la alquimia, la astrología y la kabalah, entre otros con el afamado Tritemus, maestro también del reconocido alquimista y astrólogo Paracelso. En "De oculta philosophia libri tres" (Colonia, 1533), da cuadrados mágicos desde orden 3 hasta orden 9, tanto en cifras arábigas como en hebreas, y los llama tabulae Lunae, Martis, Mercurii, Jovis, Veneris, Saturni, Solis.
No da ningún método de construcción, y se ocupa solamente de las propiedades que tendrían como talismanes.
En las obras atribuídas a Paracelso, que vivió en la misma época, aparecen los mismos cuadrados con recomendaciones para su uso talismánico. Algunos de esos amuletos, de uso común entre los siglos XVI y XVII han llegado a nuestras manos. Así es, con toda seguridad, el modo en que los cuadrados mágicos llegaron al conocimiento popular.
No sabemos cómo se construían en el Siglo XVI los cuadrados de orden 4n+2, y si ese procedimiento era general o particular. De todos modos, aún en nuestra época, no existe un procedimiento realmente práctico para construirlos.
Entre los matemáticos famosos que en los siglos XVI y XVII se ocuparon de los cuadrados mágicos debemos mencionar a Fermat, Pascal y Stieffel.
De La Loubère, que fue embajador de Luis XIV en Siam durante los años 1687 y 1688, publicó en 1691 "Du royaume de Siam", en el que da su conocidísimo método de construcción para cuadrados impares. Aun en esa época (siglo XVII) el tema estaba rodeado de misticismo.
Euler, en "De quadratis magicis" (1776) y en "Recherches sur une nouvelle espece des carrés magiques (1782) se ocupa de los cuadrados llamados eulerianos. Un cuadrado latino, es un cuadrado cuyos elementos son los enteros 1,2..., n (o n números distintos cualesquiera). Cada uno de estos números aparece n veces en el cuadrado, de manera que los enteros de una fila o de una columna son todos distintos entre sí. Por tanto
1 2 3
2 3 1
3 1 2
1 2 3
3 1 2
2 3 1
son cuadrados latinos. Si se superpone el segundo sobre el primero, manteniendo el mismo orden, se forma un cuadrado de parejas en el que ninguna pareja se repite.
1,1 2,2 3,3
2,3 3,1 1,2
3,2 1,3 2,1
Un cuadrado de parejas como éste, en el que no se repite ninguna, se denomina cuadrado euleriano (en honor al matemático suizo Leonhard Euler), o grecolatino. Euler propone el famoso problema de los n2 soldados, intentando demostrar su imposibilidad para n igual o mayor que 6.
Tarry lo comprueba para n = 6 por enumeración exahustiva.
La conjetura de Euler para n > 6 se demuestra falsa en 1959.
En el Siglo XIX, se hicieron importantes avances por Lucas, Tarry, y Rouse Ball.
Y finalmente, en el Siglo XX, la atención de los matemáticos que se ocuparon del tema, se centró en la estructura y la contabilización de los cuadrados, con resultados muy interesantes.
El origen de los cuadrados mágicos es nebuloso, y aparecen en todas las épocas y culturas. Los sacerdotes egipcios los empleaban para predecir el futuro, y en China, en el año 2200 aC. el emperador Shu vio el cuadrado mágico de 3x3 en el caparazón de una tortuga en el río Lo.
El primer texto conocido en que se muestra un cuadrado mágico, es un manuscrito árabe del Siglo VIII. El cuadrado mostrado es de 3x3, y el autor se lo atribuye a Apolonio de Tiana, (Tiana, Capadocia) del año 3dC, que fue un filósofo, matemático y místico griego de la escuela pitagórica.
El mismo cuadrado de orden 3 aparece nuevamente en un trabajo del judío Jehuda Ibn Esra, (Ibraim de Sevilla) del Siglo XII.
Parece ser que los cuadrados mágicos fueron introducidos en Europa por el gramático bizantino Moschopoulos, que vivió durante el reinado de Andronicus II Palaeologus (1282–1328). Se ha encontrado un manuscrito suyo en el que hay varios cuadrados de orden 4n y otros de orden impar, dando un procedimiento general para construirlos. Hay además un cuadrado de orden 6 sin aportar el método por el cual lo obtuvo.
Cornelius Agrippa, de Colonia (Köln en Alemania), fue médico, filósofo y diplomático. Practicó y estudió las grandes ciencias herméticas: la magia, la alquimia, la astrología y la kabalah, entre otros con el afamado Tritemus, maestro también del reconocido alquimista y astrólogo Paracelso. En "De oculta philosophia libri tres" (Colonia, 1533), da cuadrados mágicos desde orden 3 hasta orden 9, tanto en cifras arábigas como en hebreas, y los llama tabulae Lunae, Martis, Mercurii, Jovis, Veneris, Saturni, Solis.
No da ningún método de construcción, y se ocupa solamente de las propiedades que tendrían como talismanes.
En las obras atribuídas a Paracelso, que vivió en la misma época, aparecen los mismos cuadrados con recomendaciones para su uso talismánico. Algunos de esos amuletos, de uso común entre los siglos XVI y XVII han llegado a nuestras manos. Así es, con toda seguridad, el modo en que los cuadrados mágicos llegaron al conocimiento popular.
No sabemos cómo se construían en el Siglo XVI los cuadrados de orden 4n+2, y si ese procedimiento era general o particular. De todos modos, aún en nuestra época, no existe un procedimiento realmente práctico para construirlos.
Entre los matemáticos famosos que en los siglos XVI y XVII se ocuparon de los cuadrados mágicos debemos mencionar a Fermat, Pascal y Stieffel.
De La Loubère, que fue embajador de Luis XIV en Siam durante los años 1687 y 1688, publicó en 1691 "Du royaume de Siam", en el que da su conocidísimo método de construcción para cuadrados impares. Aun en esa época (siglo XVII) el tema estaba rodeado de misticismo.
Euler, en "De quadratis magicis" (1776) y en "Recherches sur une nouvelle espece des carrés magiques (1782) se ocupa de los cuadrados llamados eulerianos. Un cuadrado latino, es un cuadrado cuyos elementos son los enteros 1,2..., n (o n números distintos cualesquiera). Cada uno de estos números aparece n veces en el cuadrado, de manera que los enteros de una fila o de una columna son todos distintos entre sí. Por tanto
1 2 3
2 3 1
3 1 2
1 2 3
3 1 2
2 3 1
son cuadrados latinos. Si se superpone el segundo sobre el primero, manteniendo el mismo orden, se forma un cuadrado de parejas en el que ninguna pareja se repite.
1,1 2,2 3,3
2,3 3,1 1,2
3,2 1,3 2,1
Un cuadrado de parejas como éste, en el que no se repite ninguna, se denomina cuadrado euleriano (en honor al matemático suizo Leonhard Euler), o grecolatino. Euler propone el famoso problema de los n2 soldados, intentando demostrar su imposibilidad para n igual o mayor que 6.
Tarry lo comprueba para n = 6 por enumeración exahustiva.
La conjetura de Euler para n > 6 se demuestra falsa en 1959.
En el Siglo XIX, se hicieron importantes avances por Lucas, Tarry, y Rouse Ball.
Y finalmente, en el Siglo XX, la atención de los matemáticos que se ocuparon del tema, se centró en la estructura y la contabilización de los cuadrados, con resultados muy interesantes.
Última modificación: jueves, 7 de junio de 2018, 07:40