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General
CANTOR Y EL INFINITO
En este curso primero hablaremos un poco sobre quién es este genio matemático llamado Greog Cantor quien fue un matemático alemán, inventor con Dedekind y Frege de la teoría de conjuntos, que es la base de las matemáticas modernas. Gracias a sus atrevidas investigaciones sobre los conjuntos infinitos fue el primero capaz de formalizar la noción de infinito bajo la forma de los números transfinitos (cardinales y ordinales). Pondrenos un enfoque principal en los números infinitos.
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Topic 3
Cantor y su relación con el infinito...
Fue el matemático Georg Cantor (1845-1918) quien consiguió domesticar al infinito y descubrió una manera rigurosa y precisa de tratarlo. Cantor introdujo los números transfinitos (que se designan con la letra hebrea Aleph) y que son capaces de medir conjuntos infinitos. Así, Aleph cero mide el infinito de los números naturales (1, 2, 3, 4, 5... etc.). Pero lo interesante es que, cuando uno quiere medir la cantidad de números pares se encuentra con que también es Aleph cero. ¿Y si agregamos los números enteros negativos? ¡Aleph cero otra vez!¿Y las fracciones? Pues señor, hay también Aleph cero fracciones. O sea que hay tantos números naturales como números pares, como fracciones (y como habitaciones en el hotel Hilbert). La misma cantidad. Todos ellos son conjuntos numerables, como se llaman aquellos medidos por Aleph cero, el menor y más hogareño de los infinitos.
Porque los infinitos no son todos iguales. Probablemente sea ésta la más estrepitosa sorpresa de las muchas y muy razonables que salieron de la galera de Georg Cantor. La cantidad de puntos de una recta es mayor que la cantidad de números naturales o fracciones, y el número transfinito que los mide es más grande que Aleph cero: familiarmente se lo llama ?c?, la potencia del continuo. Los puntos de una recta, las rectas de un plano, los números irracionales, tienen la potencia del continuo. Si al hotel de Hilbert, que tiene Aleph cero habitaciones, llegaran ?c? viajeros, no habría manera de ubicarlos; aunque el hotel estuviera vacío las habitaciones no alcanzarían. Esta distribución jerárquica de los infinitos, que tanto (y tan comprensiblemente) sorprendió a los colegas de Cantor, no termina con Aleph Cero o ?c?. Existen más infinitos, cada vez más grandes que excitan la fantasía y el misterio. En ?El libro de arena?, Jorge Luis Borges imaginó un libro de infinitas páginas infinitamente delgadas. ?El manejo de este vademécum sedoso no sería cómodo: cada hoja aparente se desdoblaría en otras análogas; la inconcebible hoja central no tendría revés?.
Topic 4
Historia del cómo enfrentó el tema del infinito...PARA COMPARAR LOS TAMAÑOS de dos conjuntos infinitos se van emparejando a los elementos del primer conjunto con los del segundo. Por ejemplo, para determinar si en un cubo hay más o menos bolas rojas que bolas negras, podemos irlas sacando por pares de una roja y una negra. Cuando ya no puedan formarse nuevas parejas, las bolas restantes en el cubo, si las hubiere, servirían de base de comparación. Cantor se valió de este principio elemental para comparar tamaños de conjuntos infinitos.
Topic 5
PODEMOS EMPAREJAR, uno por uno, los números enteros con los números pares, sin que ninguno de ambos conjuntos llegue a agotarse. Por consiguiente, aunque pueda parecer que hay más números enteros que números pares, ambos conjuntos tienen en realidad el mismo número de elementos. Muchos otros conjuntos, como el de los cuadrados perfectos multiplicados por mil millones pueden también ser biunívocamente comparados con los números enteros. Tales conjuntos se llaman "numerables".
CONJUNTO INFINITO de los números racionales: es decir, de los números expresables como cociente de dos números enteros. Puede parecer mucho mayor que el conjunto de los números enteros. Por ejemplo, entre dos enteros consecutivos, así 0 y 1, hay una infinidad de números racionales. No obstante, Cantor mostró en el año 1874 de qué forma podían los números racionales ser emparejados biunívocamente con los números enteros. Cada número racional se halla encuadrado en la formación de la figura; a cada número racional puede entonces asociársele un número entero conforme se va recorriendo la trayectoria señalada con flechas de color. Así pues, el conjunto de los números racionales es numerable.
CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES, representado por el continuo de los puntos de una recta; dicho conjunto no es numerable. Si lo fuera, los números reales entre 0 y 1, por ejemplo, podrían ser biunívocamente emparejados, uno a uno, con los números enteros. Cada número real de la lista está representado por un número decimal ilimitado. (Los decimales infinitos como 0,5000... han de ser representados por otro decimal infinito, tal como 0,4999...) Independientemente de la ordenación que se dé a una tal lista de números decimales ilimitados, siempre puede ser construido un nuevo decimal que defina un número real no contenido en ella: como primera cifra decimal del número a construir se escribe un 9 si es que el primer decimal del número que encabeza la lista es un 1; de no ser así, se escribe un 1. A continuación se cambia la segunda cifra decimal del segundo número real; después, la tercera del tercero, y así sucesivamente. El número decimal de esta forma construido representa un número real comprendido entre 0 y 1, y que habrá forzosamente de diferir al menos en una cifra decimal de cada uno de los números de la lista. Por tanto, la hipótesis de que los números reales puedan ser biunívocamente emparejados con los números enteros conduce a contradicción. La idea clave de esta demostración es conocida por "método de diagonalización".
Topic 6
LA PROBABILIDAD DE QUE AL ELEGIR AL AZAR UN PUNTO DEL CONTINUO de los números reales el punto seleccionado corresponda a un número racional nos da indicación de los tamaños relativos de los conjuntos de números racionales y números reales. La probabilidad es la razón del número de puntos de valor racional contenidos en un cierto intervalo al número total de puntos situados sobre él. El intervalo entre 0 y 1 ha sido representado en la ilustración por la circunferencia de una rueda de la fortuna. (Los valores 0 y 1 se consideran idénticos sobre la rueda.) Se supone que al hacer girar y luego dejar detenerse la rueda queda seleccionado aleatoriamente un solo punto. Los puntos representantes de números racionales forman un conjunto infinitamente denso, en el sentido de que a lo largo de cualquier arco comprendido entre dos puntos racionales de la circunferencia, por pequeño que sea, se encuentran un número infinito de puntos racionales en su interior. Vemos en la figura algunos puntos de esos. Empero, el conjunto de los puntos situados sobre la circunferencia es infinitamente mayor que el conjunto de puntos racionales; la probabilidad de que la rueda de la fortuna se detenga en un punto racional es cero. Con mayor precisión, tal probabilidad es menor que cualquier número positivo dado de antemano.
Topic 7
PUEDEN PONERSE LOS PUNTOS DEL PLANO en correspondencia biunívoca con los puntos de la recta. Cada punto del plano está representado por un par de decimales infinitos; estos son fragmentados en grupos: cada cifra, excepto si es 0, da motivo a un nuevo grupo. Los grupos son refundidos en un nuevo número decimal único por el procedimiento de ir tomándolos alternativamente; este número decimal representa un punto de la recta. El proceso es reversible. Una demostración parecida prueba que el número de puntos de un espacio de dimensión finita es equivalente al número de puntos de una recta.
Topic 8
Quedaba en la teoría de conjuntos transfinitos un último elemento al que Cantor debía plantar cara, a saber, la naturaleza y status de los números cardinales transfinitos. Es curiosa la evolución que experimentó su pensamiento. Los cardinales transfinitos fueron los últimos en ser definidos rigurosamente o recibir notación especial. Es, en efecto, difícil reconstruir desde la claridad de la retrospectiva las obscuridades entre las que a ciegas Cantor tuvo que tantear su camino; hasta aquí he venido comentando su obra como si Cantor hubiese comprendido ya que la potencia de un conjunto podía ser entendida como número cardinal. De hecho, si bien Cantor había comprendido que es la potencia de un conjunto la que establece su equivalencia (o su no equivalencia) con otro conjunto cualquiera, inicialmente eludió toda sugerencia de que la potencia de un conjunto infinito pudiera ser considerada como un número.
UNA SUCESIÓN INFINITA DE CONJUNTOS, donde cada uno es mayor que el precedente, puede construirse tomando para cada conjunto dado el conjunto de todos sus subconjuntos. Podemos utilizar aquí una ingeniosa variante del método de diagonalización de Cantor para mostrar que, de suponer existente una correspondencia biunívoca f entre un conjunto cualquiera M y el conjunto N de todos sus subconjuntos, siempre podemos construir un subconjunto S que carece de homólogo en la correspondencia, sea f la que fuere. Para comprender su construcción, tomemos el conjunto finito M formado por un disco rojo, un disco azul y un disco verde. Este conjunto tiene ocho subconjuntos (contando entre ellos al conjunto vacío,
, que carece de elementos). Definamos S como conjunto todos los elementos m de M que no sean miembros del subconjunto f (m) que les corresponde. Para el ejemplo de la ilustración superior, S contiene únicamente al disco azul. Puesto que S es subconjunto de M, y puesto que se supone que la correspondencia f es biunívoca, ha de existir algún elemento a perteneciente a M que se encuentre asociado con S, esto es, un elemento a para el cual f(a) sea idéntico a S. Ahora, o bien a es elemento de S, o bien no lo es. Si a es elemento de S, ha de serlo también de f(a), pues f(a) es igual a S; por otra parte, si a es elemento de S no puede serlo de f (a), en vista de cómo ha sido definido S. Por tanto, a no es elemento de S. Pero, de nuevo, si a no es elemento de S, por la definición de S, a tiene que ser elemento de f(a), y puesto que f(a) es igual a S, a tiene también que ser elemento de S. Así pues, sea cual fuere la situación de a, al suponer que el conjunto M puede ser, elemento a elemento, biunívocamente emparejado con el conjunto de todos sus subconjuntos se produce una contradicción. Es por tanto forzoso desechar tal hipótesis. De igual forma se demuestra que incluso si un conjunto es infinito, el conjunto de todos sus subconjuntos es mayor que el conjunto original. Es posible construir una sucesión de conjuntos progresivamente mayores formando el conjunto N de todos los subconjuntos de un conjunto infinito M, luego, el conjunto P de todos los subconjuntos de N, y así sucesivamente. La sucesión no contiene un conjunto máximo.
