Sistemas de Ecuaciones

Matrices

Las matrices son arreglos rectangulares de variables, números o una combinación de ambos. Generalmente se utiliza un par de corchetes para denotar el mencionado arreglo y se reservan las letras mayúsculas del abecedario para darle nombre a cada matriz.

Con las matrices se pueden resolver una buena cantidad de ejercicios, pero antes de ello es necesario recordar algunas de las operaciones que frecuentemente se aplican a las matrices.

Adición de matrices:

Ejemplo: Dada las matrices A y B, hallar A+B

La adición de matrices puede resolverse siempre y cuando el tamaño de las matrices coincida; es decir, cuando ambas matrices tienen igual número de filas e igual número de columnas.

Resta:

Dado un número (que llamaremos escalar) multiplicarlo por una matriz; consiste en efectuar el producto del escalar por cada uno de los elementos de la matriz, como se muestra a continuación:

Ejemplo:

Dado

Hallar:

Multiplicación de matrices:

Dado dos matrices A y B. el producto se obtiene como se ilustra a continuación.

Multiplicar, si se puede, las matrices A y B.

Una multiplicación de matrices se puede resolver cuando el número de columnas de A sea igual al número de filas de B y se hace de la siguiente manera:

Se multiplican los elementos de la primera fila por los elementos de la primera columna. Se aplica esto al resto de filas y columnas.

Determinante de una matriz:

Puede ser calculado siempre y cuando la matriz sea cuadrada. Para denotar el determinante se utiliza la siguiente simbología. Para calcular , se puede agregar a la matriz dada, sus dos primeras columnas y multiplicar los elementos de las diagonales, el resultado de la diagonales principales debe restarse del resultado de las diagonales secundarias. Así:

Inversa de una matriz:

Una matriz tiene inversa si es regular (su determinante 0).

Para calcular la inversa de una matriz basta con construir un arreglo matricial compuesto de: la matriz original y la matriz de identidad, siendo esta última una matriz que posee en su diagonal principal puros 1 y 0 en el resto de las posiciones; luego de esto se procede a aplicar operaciones elementales sobre los renglones convirtiendo la matriz dada en matriz de identidad como se muestra a continuación:

Para comprobar * = Identidad

Comprobar

Solución de sistema de ecuaciones: Existen diversos métodos que permiten resolver un sistema de ecuaciones (recuerde que hay sistemas de ecuaciones que no se pueden resolver), en este caso analizaremos solo dos de los mencionados métodos la regla de Kramer y el método de Gauss-Jordan.

La limitante del primero es que solo puede ser empleada para sistemas cuadrados, cuando se tienen igual número de ecuaciones y de incógnitas.

Regla de Kramer:

Supóngase que se debe resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

Solución: basta con calcular el Delta del sistema ( ) y aplicar las siguientes igualdades:

Para calcular el delta del sistema se debe:

construir la matriz asociada tomando en cuenta el sistema de ecuaciones.

Calcular el determinante de dicha matriz. Así se tiene que:

Para calcular las incógnitas, se aplican las igualdades establecidas arriba. Así:

Por lo tanto: x = 0/1= 0; y = 0/1 = 0; z = 0/1 = 0.

Para Comprobar: Se sustituye el valor de x = 0, y = 0, z = 0, en las ecuaciones del sistema dada, observando que se cumplen las igualdades establecidas en ellas.