Área y volumen de cuerpos geométricos

¿Qué es una composición de cuerpos geométricos?

llamaremos composición de cuerpos geométricos, a cualquier cuerpo que involucre dos o más cuerpos geométricos en su construcción, como puede ser una esfera dentro de una caja, un cilindro cuyas terminaciones sean semiesferas, etc. Así como también, a aquellos cuerpos geométricos que se obtienen por la traslación según el mismo vector de dos o más figuras planas que se encuentren "juntas" o bien, por la rotación según el mismo eje de rotación de dos o más figuras planas que estén unidas.

con figuras "juntas" o "unidas" nos referiremos a algo así:

por ejemplo, si trasladásemos la primera figura según un vector, obtendríamos algo así:

y si hacemos rotar la segunda figura con un eje de rotación central obtendríamos algo así:

área y volumen de composiciones de cuerpos geométricos

Visto de esta forma, no es difícil observar que el volumen de este tipo de composiciones de cuerpos geométricos será la suma de los cuerpos en los que la, así, para calcular el volumen de estas composición de cuerpos geométricos, deberíamos calcular el volumen de cada cuerpo y luego sumarlo, pero... ¿Qué pasa con el área?

bueno, notemos que en ambos casos, hay caras que se pierden debido a que las figuras comparten aristas, o en el caso de la segunda imagen, el diámetro de la semicircunferencia, coincide con la base del triángulo isósceles.

Por esta razón, es importante entender cuál es el origen de las fórmulas que hemos estudiado en este curso, puesto que si nos ponemos a aplicar fórmulas sin pensar en qué estamos haciendo, o qué es lo que se nos pide el problema, es muy probable que cometamos errores como sumar el área de algo que no corresponde, o sumar una misma superficie varias veces.

Por lo tanto, respecto al cálculo del área de composiciones de cuerpos geométricos, podemos decir que tendremos que calcular el área de las caras que no sean compartidas, y luego sumarlas, por ejemplo, en el cuerpo que generamos por rotación, no se debe considerar el área de la base del cono, pues esa cara es compartida en su totalidad con la cara de la semiesfera.

¿Siempre sumamos áreas y volumenes?

Quiero que pienses nuevamente en las naranjas

Es evidente que cuando pelamos una naranja, esta se hace más pequeña que cuando tenía la cáscara, pero, alguna vez te has parado a pensar ¿Qué tanto más pequeña es la parte que nos comemos de la naranja? o ¿Qué tanto espacio nos ocupa la cáscara? ¿Será posible que la cáscara de la naranja ocupe la mitad de la naranja completa?¿o un tercio? o en realidad ¿será que ocupa un espacio tan pequeño que entre comerse la naranja con cáscara y sin cáscara terminamos comiendo casi lo mismo?

Anteriormente en este curso consideramos una naranja esférica para deducir la fórmula del área de la naranja, y nuevamente volvemos a esta deliciosa fruta para enfrentarnos a problemas de composiciones de cuerpos geométricos. Bien, entonces, de vuelta al problema.

¿cómo calcularíamos el espacio que ocupa la cáscara de la naranja?

notemos que podemos percibir la naranja con cáscara como una esfera dentro de otra, donde la esfera que se corresponde con la fruta (lo que comemos) tiene un radio \( r_1 \) y la esfera que se corresponde con la naranja con cáscara tiene un radio \( r_2 \) . 

pero, ¿Qué hacemos con esto? 

Bueno, ya que queremos saber cuanto espacio ocupa algo, sabemos que tenemos que calcular volúmenes, por lo pronto calculemos el volumen de una naranja, cuya cáscara mide 0,5 cm de grosor y tiene diámetro 7,5 cm

Esto quiere decir, que el radio de la esfera interior es de 3,5 cm (la mitad de 7cm) y el radio de la naranja completa será de 3,75 cm. Calculemos el volumen de estas esferas

\( V_{pequeño}= \dfrac{4}{3}\pi\cdot(3,5)^3 \, cm^3=\dfrac{171,5}{3}\pi \, cm^3 =57,1666...\cdot\pi \,cm^3 \\ V_{grande}= \dfrac{4}{3}\pi\cdot(3,75)^3 \, cm^3=\dfrac{210,9375}{3} \pi \,cm^3 = 70,3125\pi \, cm^3 \)

y ahora que tenemos ambos volúmenes, ¿No es acaso el volumen de la cáscara, aquel espacio que ocupa la naranja completa pero que no ocupa la fruta (pulpa)? Esto, lo podemos expresar como la resta del volumen mayor, menos el volumen menor.

Así, el espacio que ocupa una cáscara de 0,5 cm de grosor en una naranja de 7,5 cm de diámetros será:

\( V_{cáscara}=70,3125\pi \, cm^3-57,1666.. \cdot\pi \, cm^3 = 13,1458333.. \cdot \pi \, cm^3 \)