Perfilado de sección


  • ORIGEN


    Corresponde a la intersección de un cono recto doble con un plano inclinado, el cual atraviesa oblicuamente uno de los conos, como se muestra en la imagen:


    Elipse


    DEFINICIÓN


    Se define como el lugar geométrico de todos los puntos del plano que, dado dos puntos fijos, la suma de las distancias a estos puntos es constante. Esto es:


    \( \epsilon= \lbrace{P(x,y)|d(P,F_1)+d(P,F_2)=cte }\rbrace \)


    A continuación, se observa una elipse cualquiera, con focos A y B, y un punto D que muestra el lugar que toman todos los puntos que componen a la cónica. Utilizando la función de suma se demuestra que, independiente de la posición del punto D, la suma de las distancias a los focos (a) siempre es constante.



    ELEMENTOS


    La ecuación que representa a una elipse con centro (0,0), focos F1(-c,0), F2(c,0) y eje focal y=0 (eje x) es la siguiente:


    \( \frac{x^2}{a^2}+ \frac{y^2}{b^2}=1 \)


    Si buscamos las intersecciones de la elipse con los ejes, observamos que:


    \( y=0: x^2=a^2 \Rightarrow x= \pm a \Rightarrow V_1(a,0); V_2(-a,0) \)

    \( x=0: y^2=b^2 \Rightarrow y= \pm b \Rightarrow V_3(-b,0); V_4(b,0) \)


    Estos cuatro puntos se denominan vértices de la elipse.

    Luego, tenemos que:

    • a se denomina al semieje mayor.
    • b se denomina al semieje menor.
    • c es la semidistancia focal: distancia del centro a uno de los focos.
    • 2c es la distancia entre ambos focos.
    • Eje focal es la recta que pasa por ambos focos.


    A continuación, se muestra la gráfica de todos estos elementos:


     

    Observen que el origen es el centro de simetría de la elipse.

    Si en la ecuación anterior permutamos x por y, queda:


    \( \frac{y^2}{a^2}+ \frac{x^2}{b^2}=1 , a>b \)


    En este caso las coordenadas de los vértices y focos son:

    • Vértices: \( V_1(0,a); V_2(0,-a); V_3(-b,0); V_4(b,0) \)
    • Focos: \( F_1(0,-c); F_2(0,c) \)


    Y su gráfica es:



    Excentricidad


    Es un parámetro que determina el grado de desviación de una sección cónica con respecto a una circunferencia que comparte el mismo centro. Se calcula mediante la razón:

    \( e= \frac{c}{a} \)

    En la siguiente imagen podrás ver cómo va cambiando la excentricidad de la elipse a medida que aumentamos o disminuimos el valor de a, moviendo el punto P, y cómo esto influye en la forma que toma la figura.