Tablas de cálculos: Trigonometría y logaritmos

La trigonometría es una de las técnicas matemáticas más ampliamente utilizadas, está presente, por ejemplo, en los sistemas de navegación GPS, indispensables para la vida del siglo XXI. Su uso es tan común en las ciencias y la ingeniería que habitualmente pasa desapercibido.

Históricamente hablando, la trigonometría se encuentra asociada íntimamente a otra función matemática ingeniosa y que es ampliamente utilizada: los logaritmos. Ambas aplicaciones matemáticas se basaban en tablas numéricas con grandes cantidades de resultados tabulados. Estas tablas volvían útiles a dichas funciones, pues los cálculos resultaban muy tediosos y el ahorro de tiempo que proporcionaban las tablas era considerablemente grande. Los inventores pasaron muchos años de su vida, incluso décadas, construyendo estas tablas. Su aporte a la matemática es tremendamente valorable.

El problema básico al cual se enfrenta la trigonometría corresponde al cálculo de propiedades desconocidas de un triángulo del cual se conocen otras propiedades. En la antigüedad los griegos ya se enfrentaban a este tipo de problemas, donde lo que ha cambiado con respecto a nuestros días es principalmente una cuestión de notación.  La trigonometría nace, aparentemente, con la astronomía, ciencia donde las distancias son casi inaccesibles, pero donde resulta relativamente más fácil medir los ángulos.

Las primeras tablas trigonométricas se derivaron de Hiparco, aproximadamente en el año 150 antes de la era común. Este personaje hizo una tabla en la cual relaciona arcos y longitudes de cuerda para un cierto rango de ángulos, pero sólo incluía múltiplos de 7,5°. Hiparco es considerado como el padre de la trigonometría.

Ptolomeo de Alejandría creó uno de los textos mas importantes de trigonometría en el mundo antiguo. Su “Sintaxis matemática” o “El almagesto” como era conocido por los árabes (y que, dicho sea de paso, significa “el más grande”) incluía tablas trigonométricas, métodos para el cálculo y un catálogo muy completo con las posiciones de estrellas. Este libro sirvió a los astrónomos durante más de mil años.

Los primeros conceptos trigonométricos se comienzan a apreciar en los escritos matemáticos y astrónomos de la india, como Varahamihira, Bramhmagupta y Bhaskaracharya. Generalmente utilizaban la semi-cuerda, el cual, en realidad, se corresponde con el seno moderno.

Debido a la vinculación con la astronomía, casi toda la trigonometría era esférica hasta 1450. Pero esto comenzó a cambiar debido, inicialmente, a la liga Hanseática alemana, la cual controlaba la mayor parte del comercio. Estos comerciantes necesitaban mejores métodos para la navegación, junto con mejorar el calendario y los usos prácticos de las observaciones astronómicas.

Johannes Müller fue una figura clave, pues calculó una nueva tabla de Senos y una de tangentes. Otros matemáticos entre los siglos XV y XVI emprendieron la aventura de calcular sus propias tablas trigonométricas. Algunas de estas tablas tenían precisión de hasta 15 cifras decimales. Vieta realizó varios escritos sobre trigonometría, donde recogió y sistematizó varios de los métodos conocidos para “resolver triángulos”. Además, inventó varias identidades trigonométricas nuevas.

Los logaritmos, por su parte, eran importantes debido a que cumplen con una propiedad donde se puede transformar multiplicaciones en sumas. Desde el siglo XVII casi todos los cálculos científicos, principalmente los referentes a la astronomía, utilizaban logaritmos.

Históricamente hablando, el descubrimiento de los logaritmos comienza con John Napier, quien buscaba métodos eficaces de cálculo e inventó lo que se conocen hoy como las “varas de Napier”, que era un conjunto de palos con marcas que se podían utilizar para realizar multiplicaciones de manera más sencilla. Posteriormente se dedicó a trabajar en un método mas teórico, el cual le costaría 20 años.

En el siguiente link encontrarás una explicación de como utilizar varas de Napier:

https://eloviparo.wordpress.com/2009/03/19/las-varillas-de-napier-abaco-de-napier/

James Craig le contó a Napier del descubrimiento que era ampliamente utilizado en Dinamarca, llamado Prostaféresis. Se refería a cualquier proceso donde se pueden transformar los productos, en suma. Este método se basaba en una formula descubierta por Vieta, y que requería de una tabla de senos y cosenos.

Los siguientes links tienen información para comprender mejor la prostaféresis. El primero cuenta con un ejemplo de este algoritmo, mientras que el segundo cuenta con más información acerca de la historia y el desarrollo de este:

http://joselorlop.blogspot.com/2018/01/700-la-prostaferesis-resolucion_17.html

https://es.wikipedia.org/wiki/Prostaf%C3%A9resis

Napier extrajo la idea y la mejoró: Formó una serie geométrica donde la razón era muy próxima a 1. Por algún motivo, escogió una razón ligeramente menor que 1: 0,99999999. La ecuación que encontró Napier se puede utilizar para el cálculo, pero no es elegante. Luego, Henry Briggs sugirió que se reemplazara el concepto de Napier por uno más simple, el logaritmo con base 10. Calculó una tabla con logaritmos en dicha base, donde en 1617, con su Logarithmorum Chilias Prima y en 1624 con su Arithmetic Logarithmica tabulaba logaritmos con hasta 14 cifras decimales.

El famoso número de Euler, o también conocido como la constante de Napier, aparece si se trata de formar una serie geométrica cuya razón es ligeramente mayor que 1. Esta fórmula sugiere que existe una base “natural” para los logaritmos: e. El número ‘e’ es de esos números extraños y especiales que aparecen en la matemática y que tienen una gran trascendencia en el desarrollo de esta.

Los esfuerzos de aquellos matemáticos que pasaron años de su vida calculando las primeras tablas de funciones trigonométricas y logarítmicas fueron fundamentales para allanar el camino hacia una compresión científica cuantitativa del mundo natural. Los viajes y el comercio fueron cada vez más factibles debido a las mejoras en la navegación y en la cartografía.