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Intervalos e inecuaciones lineales

Los intervalos son subconjuntos de los números reales que se pueden representar gráficamente en la recta numérica por un trazo o una semirrecta. El siguiente recurso trata acerca de ellos. ¡Te invitamos a visitarlo!

Intervalos e inecuaciones lineales

1. Intervalos e inecuaciones lineales
Los intervalos son subconjuntos de los números reales que se pueden representar gráficamente en la recta numérica por un trazo o una semirrecta.

Existen intervalos abiertos, en los que no se incluyen los extremos; cerrados en los que se
incluyen los extremos, y por último aquellos en que se combinan ambos.
Para representarlos se utiliza una circunferencia vacía en el extremo, si este no se incluye, o rellena si se incluye.

La simbología que se utiliza en los casos abiertos (que no incluyen al extremo) son el signo < o >; y para los casos cerrados (que incluyen al extremo) son el signo ?, ? (mayor o igual, o menor o igual).

Por otra parte, los intervalos se pueden representar en forma de conjunto o con corchetes:
Ejemplo:
]a,b[ Todos los reales comprendidos entre a y b, sin incluir a, ni b.
]a,b] Todos los reales mayores que a, sin incluir a.
[m,n[Todos los reales entre m y n, incluyendo a m y no incluyendo a n.

Observa el esquema:

1.1 Propiedades de las desigualdades

1. Una desigualdad no varía si se suma o resta la misma cantidad a ambos lados:
a < b / ± c
a ± c < b ± c

Ejemplo
2 + x > 16 / – 2
x > 14

2. Una desigualdad no varía su sentido si se multiplica o divide por un número positivo:

a < b / • c (c > 0)
a • c < b • c

a > b / • c (c > 0)
a • c > b • c

Ejemplo
3 < 5 • x / :5
3/5 < x esto es, todos los reales mayores o iguales que 3/5

3. Una desigualdad varía su sentido si se multiplica o divide por un número negativo:

a < b / • c (c < 0)
a • c > b • c

a > b / • c (c < 0)
a • c < b • c

Ejemplo 15 – 3• x > 39 / -15
- 3• x > 39 – 15 /: -3
x < 24: (-3)
x < - 8. Esto es, todos los reales menores o iguales que -8.

2. Inecuaciones de primer grado
Las inecuaciones de primer grado con una incógnita se resuelven aplicando inversos aditivos (opuestos) o inversos multiplicativos (recíprocos) para despejar la incógnita. Conviene dejar positivo el coeficiente de la incógnita.

A continuación veremos cómo se aplican las propiedades anteriores en la resolución de inecuaciones lineales de primer grado con una incógnita.

Ejemplo: Resolver la inecuación: x – 2 < 3x – 6

Método 1:
Primero sumemos –3x a ambos lados
x – 3x – 2 < – 6
sumemos 2 en ambos lados
x – 3x < 2 – 6
multipliquemos por -1/2 a ambos lados. La desigualdad cambia en virtud de la propiedad 3

-2x < -4
x > 2 Observa que el signo cambió pues se multiplicó por un número negativo.

Método 2:
x – 2 < 3x – 6
Conviene dejar la incógnita positiva, por tanto restaremos x a ambos lados
-2 < 3x – x – 6
Sumamos 6 en ambos lados
-2 < 2x – 6