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  • FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS

    * Funciones exponenciales.

    Se llama "exponencial" a un número positivo elevado a una variable x, por ejemplo:

    Aunque la función exponencial por excelencia en Matemáticas es (siendo e=2.718281...), tal es así que a esta función se la suele expresar abreviadamente como exp(x), llamándola a secas "la exponencial de x".

    Pero en general una función exponencial tiene la forma:

    siendo a un número positivo distinto de 0.

    Para dibujar las gráficas de estas funciones conviene considerar dos casos: I) exponenciales con a > 1; y II) exponenciales con a < 1.

    * Función exponencial con a>1.

    En esta gráfica puede apreciarse cómo la función exponencial es siempre positiva; cuando x tiende a - la función tiende a anularse, mientras que por la derecha crece muy rápidamente hacia ( 2 elevado a 20 es superior a un millón). Toda función exponencial con a mayor que 1 tiene una gráfica muy similar a ésta. A este caso pertenece la función y=.

    * Función exponencial con a<1.

    Como puede apreciarse en la gráfica, la función exponencial es siempre positiva, pero en este caso el comportamiento de la función es el opuesto al caso anterior: es cuando xtiende a cuando la función tiende a anularse, por contra, crece rápidamamente para valores negativos de x.

    * Funciones logaritmicas.

    Decimos que logaritmo (base a) de un número positivo N es z, lo cual expresamos, , si se verifica:

    En otras palabras, el logaritmo (base a) del número positivo N es el exponente al que hay que elevar la base a para obtener ese número N

    Por ejemplo, decimos que el Logaritmo decimal (base 10) de 100 es 2, puesto que 10²=100.

    En el caso de que la base sea el número e = 2,7182818... se llama "logaritmo natural" o "logaritmo neperiano" (en honor del matemático John Neper), lo cual se suele denotar de una de estas formas:

    Log N (sin poner la base), Ln N

    En Matemáticas generalmente se utilizan logaritmos neperianos, y escasamente se utilizan logaritmos en otras bases. Veamos las propiedades de los logaritmos:

    * PROPIEDADES

    Sean dos números positivos x, y, se tiene:

    I) log (x . y) = log x + log y
    II) log (x / y) = log x - log y
    III) log x= c log x (siendo c un número positivo o negativo, entero o no)

    Casos especiales:

    * log (1 / x) = - log x (según la propiedad II, o la III con el exponente -1)
    * (puesto que la raíz equivale al exponente ½)

    * Función logaritmo (neperiano).

    Podemos observar: (1) que sólo existe logaritmo para x positivo. (2) que para x=1 el logaritmo se anula, cosa que es lógica pues e° = 1 -y en general N° = 1-. (3) Para el rango (0, 1) el logaritmo es negativo. (4) Para x tendiendo a 0 el logaritmo se hace -. Y (5) el logaritmo crece lentamente para valores positivos de x, y tiende a infinito lentamente cuando x tiende a infinito.

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