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    Introducción

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    ALGEBRA TERCERO Y CUARTO MEDIO
    Bienvenido al curso, en el marco de nuestro ramo redes de la comunicación II, estamos realizando este curso tutorial onlione. En él encontrarás materiales didácticos, como archivos de texto, ppt, pdf y videos, que te ayudarán a responder la mayoría de tus dudas con respecto a los contenidos expuestos.
    Para que la comunicación sea fluida con los estudiantes del curso, es que cada contenido tendrá habilitado un foro, en el cual podrás compartir compartir opiniones e inquietudes, con otras personas o con nosotros, los administradores; y hacernos llegar cualquier sugerencia.

    Contenidos Algebra 3º y 4º Medio.

    Unidad 1: Las funciones cuadráticas y raíz cuadrada

    Actividades para el aprendizaje y ejemplos

    Actividades para la evaluación y ejemplos

    Contenidos

    a. Raíces cuadradas y cúbicas. Raíz de un producto y de un cuociente. Estimación y comparación de fracciones que tengan raíces en el denominador.

    b. Función cuadrática. Gráfico de las siguientes funciones:


    y=ax2

    y=x2+a; y=x2-a, a>0

    y= (x+a)2; (x-a)2, a>0

    y=ax2+bx+c

     

    Discusión de los casos de intersección de la parábola con el eje x.

    Resolución de ecuaciones de segundo grado por completación de cuadrados y su aplicación en la resolución de problemas.

    c. Función raíz cuadrada. Gráfico de:F(x)= x1/2 enfatizando que los valores de x deben ser siempre mayores o iguales a cero. Identificación de x1/2=|x|

    d. Uso de algún programa computacional de manipulación algebraica y gráfica.

    Aprendizajes esperados

    Los alumnos y alumnas:

    Conocen y utilizan procedimientos de cálculo algebraico con expresiones en las que intervienen raíces cuadradas y cúbicas.

    Plantean y resuelven problemas que involucran ecuaciones de segundo grado; explicitan sus procedimientos de solución y analizan la existencia y pertinencia de las soluciones obtenidas.

    Analizan la función cuadrática y la función raíz cuadrada en el marco de la modelación de algunos fenómenos sencillos, con las correspondientes restricciones en los valores de la variable; reconocen limitaciones de estos modelos y su capacidad de predicción.

    Conocen la parábola como un lugar geométrico, reconocen su gráfica e identifican aquéllas que corresponden a una función cuadrática; identifican algunas de sus propiedades y aplicaciones en diversos ámbitos de la tecnología.

    Reconocen el potencial de las funciones estudiadas para reflejar distintos tipos de crecimiento y modelar diversos fenómenos.

    Unidad 2: Inecuaciones lineales

    Actividades para el aprendizaje y ejemplos

    Actividades para la evaluación y ejemplos

    Contenidos

    a. Sistemas de inecuaciones lineales sencillas con una incógnita.

    b. Intervalos en los números reales.

    c. Planteo y resolución de sistemas de inecuaciones con una incógnita. Análisis de la existencia y pertinencia de las soluciones.

    d. Relación entre las ecuaciones y las inecuaciones lineales.

    Aprendizajes esperados

    Los alumnos y alumnas:

    Conocen y aplican procedimientos para resolver inecuaciones lineales o sistemas de inecuaciones lineales con una incógnita; analizan la existencia y pertinencia de las soluciones y utilizan la notación apropiada.

    Plantean y resuelven problemas que involucran inecuaciones y sistemas de inecuaciones lineales con una incógnita; analizan la existencia y pertinencia de las soluciones.

    Distinguen ecuaciones e inecuaciones en términos del tipo de fenómeno que cada una puede modelar y entre inecuaciones y desigualdades.

    Unidad 3: Funciones potencia, logarítmica y exponencial

    Actividades para el aprendizaje y ejemplos

    Actividades para la evaluación y ejemplos

    Contenidos

    1. Función potencia: y = a xn, a > 0, para n = 1, 2, 3, y 4, su gráfico. Análisis del gráfico de la función potencia y su comportamiento para distintos valores de a.

    2. Funciones logarítmica y exponencial, sus gráficos correspondientes. Modelación de fenómenos naturales y/o sociales a través de esas funciones. Análisis de las expresiones algebraicas y gráficas de las funciones logarítmica y exponencial.

    Historia de los logaritmos; de las tablas a las calculadoras.

    3. Análisis y comparación de tasas de crecimiento. Crecimiento aritmético, y geométrico. Plantear y resolver problemas sencillos que involucren el cálculo de interés compuesto.

    4. Uso de programas computacionales de manipulación algebraica y gráfica.

    Aprendizajes esperados

    Los alumnos y alumnas:

    1. Analizan el comportamiento gráfico y analítico de las funciones potencia, logarítmica y exponencial.

    2. Reconocen las funciones exponencial y logarítmica una como inversa de la otra.

    3. Analizan las relaciones entre los gráficos, los exponentes y los parámetros en la función potencia.

    4. Utilizan las funciones potencia, logarítmica y exponencial para modelar situaciones o fenómenos naturales o sociales.


    Plan de estudio descargado del MINEDUC
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    Seccion curso 1

    • Función cuadrática

      Una función cuadrática es aquella que puede escribirse como una ecuación de la forma:

      f(x) = ax2 + bx + c

      donde a, b y c (llamados términos) son números reales cualesquiera y a es distinto de cero (puede ser mayor o menor que cero, pero no igual que cero). El valor de b y de c sí puede ser cero.

      En la ecuación cuadrática cada uno de sus términos tiene un nombre.

      Así,

      ax2 es el término cuadrático

      bx es el término lineal

      c es el término independiente

      Cuando estudiamos la ecuación de segundo grado o cuadrática vimos que si la ecuación tiene todos los términos se dice que es un ecuación completa, si a la ecuación le falta el término lineal o el independiente se dice que la ecuación es incompleta.

      Representación gráfica de una función cuadrática

      Si pudiésemos representar en una gráfica "todos" los puntos [x,f(x)] de una función cuadrática, obtendríamos siempre una curva llamada parábola.

      funcio_cuadratica07
      Parábola del puente, una función cuadrática.

      Como contrapartida, diremos que una parábola es la representación gráfica de una función cuadrática.

      Dicha parábola tendrá algunas características o elementos bien definidos dependiendo de los valores de la ecuación que la generan.

      Estas características o elementos son:

      Orientación o concavidad (ramas o brazos)

      Puntos de corte con el eje de abscisas (raíces)

      Punto de corte con el eje de ordenadas

      Eje de simetría

      Vértice

      Orientación o concavidad

      Una primera característica es la orientación o concavidad de la parábola. Hablamos de parábola cóncava si sus ramas o brazos se orientan hacia arriba y hablamos de parábola convexa si sus ramas o brazos se orientan hacia abajo.

      Esta distinta orientación está definida por el valor (el signo) que tenga el término cuadrático (la ax2):

      Si a > 0 (positivo) la parábola es cóncava o con puntas hacia arriba, como en f(x) = 2x2 ? 3x ? 5


      x


      Si a < 0 (negativo) la parábola es convexa o con puntas hacia abajo, como en f(x) = ?3x2 + 2x + 3


      x


      Además, cuanto mayor sea |a| (el valor absoluto de a), más cerrada es la parábola.


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    • Intervalos de Crecimiento y Decrecimiento

      Para el efecto de este conenido que se comprenda la notación xv, como el valor de la coordenada de la x en el vértice, y de manera análoga yv, como el valor de la y en el vértice.

      Las funciones cuadráticas presentan un tramo en el que son crecientes y otro enel que son decrecientes.Si a>0, la función f(x) es creciente en el intervalo ( xv ;+ ?) , y decreciente enel intervalo (-?;xv).Si a<0, la función f(x) es creciente en el intervalo (-?;xv) , y decreciente en elintervalo (xv;- ?).

      Máximo o mínimo

      Si a>0 la ordenada del vértice ( yv) es el valor mínimo que alcanza la función, lotoma en xv.Si a< 0 la ordenada del vértice ( yv) es el valor máximo que alcanza la función,lo toma en xv.Se lo llama extremo.Ejemplo: Dada la función f(x)= x2+x - 3.75


      Problemas de máximos y mínimos:

      •Si a > 0 la función alcanza un mínimo en la ordenada del vértice de sugráfica, es decir en x = xv la función alcanza su valor mínimo yv.

      •Si a < 0 la función alcanza un máximo en la ordenada del vértice de sugráfica, es decir en x = xv la función alcanza su valor máximo yv.

    • Listado de ejercicios con soluciones Archivo
    • Listado de ejercicios sin soluciones Archivo
    • Dudas con respecto a los contenidos o resolución de ejercicios propuestos Foro
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    Seccion curso 1

    Adición y Sustracción de raíces

    Caso 1

    Podemos sumar y restar radicales solamente cuando estos tengan el mismo índice y contengan una misma base (subradical o radicando).

    Ejemplo:

    raiz_suma_resta01


    Se pide realizar una operación combinada de suma y resta, lo cual podremos hacer ya que todos los términos tienen Raiz_suma_resta02

    Para recordar:
    Cuando hay un radical solo raiz_suma_resta02 siempre será lo mismo que raiz_suma_resta03.

    Como los radicales son todos iguales raiz_suma_resta02se suman los números que están fuera de ellos (3 + 5 + 1) y la parte radical se deja igual.

    Veamos ahora otro ejemplo:

    raiz_suma_resta04

    Como todos los términos tienen raiz_suma_resta06podemos sumar y/o restar sin problema. Se ha añadido un "1" delante del radical único raiz_suma_resta06.


    Caso 2

    ¿Podremos sumar y restar radicales que tengan el mismo índice pero que tengan distinta base?

    Ejemplo:

    raiz_suma_resta07

    Aquí también se pide realizar una operación combinada de suma y resta. Sin embargo, no será posible porque los tres radicales poseen el mismo índice (2) y sus bases (o cantidades subradicales o radicandos) son diferentes, además de que son números primos y no se pueden factorizar.

    Pero, veamos otro ejemplo:

    raiz_suma_resta08

    Esta también es una operación combinada de sumas y restas de radicales que tienen el mismo índice (2) pero tienen distinta base. Pero aquí hay una diferencia: las bases se pueden factorizar, de tal modo que

    108

    2

    54

    2

    27

    3

    9

    3

    3

    3

    1




    raiz_suma_resta09









    27

    3

    9

    3

    3

    3

    1


    razi_suma_resta10





    75

    3

    25

    5

    5

    5

    1


    raiz_suma_resta11






    Para quedar

    eaiz-suma_resta12

    Fuente: profesorenlinea.cl

    ?
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    Intervalos e inecuaciones lineales

    Los intervalos son subconjuntos de los números reales que se pueden representar gráficamente en la recta numérica por un trazo o una semirrecta. El siguiente recurso trata acerca de ellos. ¡Te invitamos a visitarlo!

    Intervalos e inecuaciones lineales

    1. Intervalos e inecuaciones lineales
    Los intervalos son subconjuntos de los números reales que se pueden representar gráficamente en la recta numérica por un trazo o una semirrecta.

    Existen intervalos abiertos, en los que no se incluyen los extremos; cerrados en los que se
    incluyen los extremos, y por último aquellos en que se combinan ambos.
    Para representarlos se utiliza una circunferencia vacía en el extremo, si este no se incluye, o rellena si se incluye.

    La simbología que se utiliza en los casos abiertos (que no incluyen al extremo) son el signo < o >; y para los casos cerrados (que incluyen al extremo) son el signo ?, ? (mayor o igual, o menor o igual).

    Por otra parte, los intervalos se pueden representar en forma de conjunto o con corchetes:
    Ejemplo:
    ]a,b[ Todos los reales comprendidos entre a y b, sin incluir a, ni b.
    ]a,b] Todos los reales mayores que a, sin incluir a.
    [m,n[Todos los reales entre m y n, incluyendo a m y no incluyendo a n.

    Observa el esquema:

    1.1 Propiedades de las desigualdades

    1. Una desigualdad no varía si se suma o resta la misma cantidad a ambos lados:
    a < b / ± c
    a ± c < b ± c

    Ejemplo
    2 + x > 16 / – 2
    x > 14

    2. Una desigualdad no varía su sentido si se multiplica o divide por un número positivo:


    a < b / • c (c > 0)
    a • c < b • c

    a > b / • c (c > 0)
    a • c > b • c

    Ejemplo
    3 < 5 • x / :5
    3/5 < x esto es, todos los reales mayores o iguales que 3/5


    3. Una desigualdad varía su sentido si se multiplica o divide por un número negativo:


    a < b / • c (c < 0)
    a • c > b • c


    a > b / • c (c < 0)
    a • c < b • c

    Ejemplo 15 – 3• x > 39 / -15
    - 3• x > 39 – 15 /: -3
    x < 24: (-3)
    x < - 8. Esto es, todos los reales menores o iguales que -8.


    2. Inecuaciones de primer grado
    Las inecuaciones de primer grado con una incógnita se resuelven aplicando inversos aditivos (opuestos) o inversos multiplicativos (recíprocos) para despejar la incógnita. Conviene dejar positivo el coeficiente de la incógnita.

    A continuación veremos cómo se aplican las propiedades anteriores en la resolución de inecuaciones lineales de primer grado con una incógnita.

    Ejemplo: Resolver la inecuación: x – 2 < 3x – 6

    Método 1:
    Primero sumemos –3x a ambos lados
    x – 3x – 2 < – 6
    sumemos 2 en ambos lados
    x – 3x < 2 – 6
    multipliquemos por -1/2 a ambos lados. La desigualdad cambia en virtud de la propiedad 3

    -2x < -4
    x > 2 Observa que el signo cambió pues se multiplicó por un número negativo.

    Método 2:
    x – 2 < 3x – 6
    Conviene dejar la incógnita positiva, por tanto restaremos x a ambos lados
    -2 < 3x – x – 6
    Sumamos 6 en ambos lados
    -2 < 2x – 6


    Un ejemplo en el
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    Sistemas de inecuaciones de primer grado con una incógnita


    Cuando tenemos un sistema de desigualdades resolvemos cada una de ellas por separado, la solución va a ser la común a las desigualdades.


    Sistemas inecuaciones


    inecuaciones primer grado.


    Inecuaciones de segundo grado


    Para resolver desigualdades de segundo grado o de grado superior es necesario descomponer en factores. Recuerda que para hacer la descomposición factorial dependiendo de la ecuación podemos sacar factor común, resolver la ecuación de segundo grado o aplicar la regla de Ruffini.


    desigualdades

    inecuaciones primer grado

    Inecuaciones con denominadores


    Sistemas inecuaciones

    Sistemas inecuaciones



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    Función Potencia

    Una Función potencia está dada por la forma:


    Donde:

    a es un número Real Distinto de Cero, y n = 2, 3, 4, 5 ....

    El dominio de esta función siempre será IR y su recorrido, dependerá, si n es par, entonces el recorrido es IR+ u {0}, si n es impar entonces el recorrido será IR.


    Ejemplo de función potencial de exponente par

    Representar las gráficas de las funciones:

    a) y = x2

    b) y = x4




    Exponente n impar

    Si n es impar, la función tien un punto de inflexión en O(0,0) y el recorrido de la función es:



    Im(f) = R



    Ejemplo de función potencial de exponente impar

    Representar las gráficas de las funciones:


    a) y = x3

    b) y = x5




    Acá un video


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    Evaluación final y certificado

    FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS

    * Funciones exponenciales.

    Se llama "exponencial" a un número positivo elevado a una variable x, por ejemplo:

    Aunque la función exponencial por excelencia en Matemáticas es (siendo e=2.718281...), tal es así que a esta función se la suele expresar abreviadamente como exp(x), llamándola a secas "la exponencial de x".

    Pero en general una función exponencial tiene la forma:

    siendo a un número positivo distinto de 0.

    Para dibujar las gráficas de estas funciones conviene considerar dos casos: I) exponenciales con a > 1; y II) exponenciales con a < 1.

    * Función exponencial con a>1.

    En esta gráfica puede apreciarse cómo la función exponencial es siempre positiva; cuando x tiende a - la función tiende a anularse, mientras que por la derecha crece muy rápidamente hacia ( 2 elevado a 20 es superior a un millón). Toda función exponencial con a mayor que 1 tiene una gráfica muy similar a ésta. A este caso pertenece la función y=.

    * Función exponencial con a<1.

    Como puede apreciarse en la gráfica, la función exponencial es siempre positiva, pero en este caso el comportamiento de la función es el opuesto al caso anterior: es cuando xtiende a cuando la función tiende a anularse, por contra, crece rápidamamente para valores negativos de x.

    * Funciones logaritmicas.

    Decimos que logaritmo (base a) de un número positivo N es z, lo cual expresamos, , si se verifica:

    En otras palabras, el logaritmo (base a) del número positivo N es el exponente al que hay que elevar la base a para obtener ese número N

    Por ejemplo, decimos que el Logaritmo decimal (base 10) de 100 es 2, puesto que 10²=100.

    En el caso de que la base sea el número e = 2,7182818... se llama "logaritmo natural" o "logaritmo neperiano" (en honor del matemático John Neper), lo cual se suele denotar de una de estas formas:

    Log N (sin poner la base), Ln N

    En Matemáticas generalmente se utilizan logaritmos neperianos, y escasamente se utilizan logaritmos en otras bases. Veamos las propiedades de los logaritmos:

    * PROPIEDADES

    Sean dos números positivos x, y, se tiene:

    I) log (x . y) = log x + log y
    II) log (x / y) = log x - log y
    III) log x= c log x (siendo c un número positivo o negativo, entero o no)

    Casos especiales:

    * log (1 / x) = - log x (según la propiedad II, o la III con el exponente -1)
    * (puesto que la raíz equivale al exponente ½)

    * Función logaritmo (neperiano).

    Podemos observar: (1) que sólo existe logaritmo para x positivo. (2) que para x=1 el logaritmo se anula, cosa que es lógica pues e° = 1 -y en general N° = 1-. (3) Para el rango (0, 1) el logaritmo es negativo. (4) Para x tendiendo a 0 el logaritmo se hace -. Y (5) el logaritmo crece lentamente para valores positivos de x, y tiende a infinito lentamente cuando x tiende a infinito.

    Video con los contenidos


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    *****Contenido que no está incluido en el marco de lo que se exige en los planes de 3º y 4º medio en cuanto a algebra. Sin embargo, tiene relacion con el tema de Funciones, a continuación :

    El interés compuesto

    El interés compuesto representa el costo del dinero, beneficio o utilidad de un capital inicial (C) o principal a una tasa de interés (i) durante un período (t), en el cual los intereses que se obtienen al final de cada período de inversión no se retiran sino que se reinvierten o añaden al capital inicial; es decir, se capitalizan, produciendo un capital final (Cf).

    Para un período determinado sería

    Capital final (Cf) = capital inicial (C) más los intereses.

    Veamos si podemos generalizarlo con un ejemplo:

    Hagamos cálculos para saber el monto final de un depósito inicial de $ 1.000.000, a 5 años plazo con un interés compuesto de 10 % (como no se especifica, se subentiende que es 10 % anual).

    Año

    Depósito inicial

    Interés

    Saldo final

    0 (inicio)

    $1.000.000

    ($1.000.000 x 10% = ) $100.000

    $1.100.000

    1

    $1.100.000

    ($1.100.000 × 10% = ) $110.000

    $1.210.000

    2

    $1.210.000

    ($1.210.000× 10% = ) $121.000

    $1.331.000

    3

    $1.331.000

    ($1.331.000 × 10% = ) $133.100

    $1.464.100

    4

    $1.464.100

    ($1.464.100 × 10% = ) $146.410

    $1.610.510

    5

    $1.610.510



    Paso a paso resulta fácil calcular el interés sobre el depósito inicial y sumarlo para que esa suma sea el nuevo depósito inicial al empezar el segundo año, y así sucesivamente hasta llegar al monto final.

    Resulta simple, pero hay muchos cálculos; para evitarlos usaremos una fórmula de tipo general:

    En inversiones a interés compuesto, el capital final (Cf), que se obtiene a partir de un capital inicial (C), a una tasa de interés (i), en un tiempo (t), está dado por la fórmula:

    interes-compuesto001

    Recordemos que i se expresa en forma decimal ya que corresponde ainteres-compuesto002.
    Y donde t corresponde al número de años durante los cuales se mantiene el depósito o se paga una deuda.

    Como corolario a esta fórmula:

    A partir de ella, puesto que el interés compuesto final (I) es la diferencia entre el capital final y el inicial, podríamos calcular la tasa de interés (i):

    interes_compuesto003

    Sacamos factor común C:

    interes-compuesto004

    También podemos calcular la tasa de interés despejando en la fórmula de Cf:

    interes-compuesto005

    En los problemas de interés compuesto i y t deben expresarse en la misma unidad de tiempo efectuando las conversiones apropiadas cuando estas variables correspondan a diferentes períodos de tiempo.

    Periodos de interés compuesto

    El interés compuesto no se calcula siempre por año, puede ser semestral, trimestral, al mes, al día, etc. ¡Pero si no es anual debería informarse!

    Así, si la fórmula del interés compuesto se ha deducido para una tasa de interés anual durante t años, todo sigue siendo válido si los periodos de conversión son semestres, trimestres, días, etc., solo hay que convertir éstos a años.

    Por ejemplo, si i se expresa en tasa anual y su aplicación como interés compuesto se valida en forma mensual, en ese caso i interes-compuesto002 debe dividirse por 12 interes_compuesto006. En seguida, la potencia t (el número de años) debe multiplicarse por 12 para mantener la unidad mensual de tiempo (12 meses por el número de años).

    Si los periodos de conversión son semestrales, i se divide por 2 ya que el año tiene dos semestres (lo cual significa que los años los hemos convertido a semestres), por lo mismo, luego habrá que multiplicar la potencia t (el número de años) por 2 (el número de semestres de un año):

    Suponiendo una tasa anual de 10%, hacemos del siguiente modo:

    interes-compuesto007será igual a

    interes_compuesto008

    Si los periodos de conversión son trimestrales, i se divide por 4 ya que el año tiene 4 trimestres (lo cual significa que los años los hemos convertido a trimestres) por lo mismo, luego habrá que multiplicar la potencia t (el número de años) por 4 (el número de trimestres que hay en un año).

    Del siguiente modo:

    interes-compuesto007será igual a

    interes-compuesto009

    En general, en todos los casos donde haya que convertir a semestres, trimestres, meses, o días se multiplica por n semestres, trimestres, meses o días el 100 de la fórmulainteres-compuesto007 que es igual a interes-compuesto024. La potencia t (en número de años) se debe multiplicar por el mismo valor de n, en cada caso, así, suponiendo una tasa anual de 10%:

    interes-compuesto007será igual a

    interes-compuesto010


    Fuente: Profesorenlinea.cl

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